Centrale

Exercices corrigés donnés au concours « Centrale »

Fonction Ck à dérivées nulles en 0

(Oral Centrale)
Soit {f\in\mathcal{C}^3(\mathbb{R})} avec {f(0)=f^{\prime }(0)=0}.
Montrer : {\forall\,x\ne0,\;f(x)=x\displaystyle\int_{0}^{1}f^{\prime }(ux)du.}
Montrer : {\exists\,g\in C^{1}(\mathbb{R}),\;\forall\,x\in \mathbb{R},\;f(x)=xg(x)}.
Montrer : {\exists\,h\in C^{1}(\mathbb{R}),\;\forall\,x\in \mathbb{R},\;f(x)=xg(x)}.

Encore une intégrale à paramètre

(Oral Centrale)
On pose {I(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^x \ln(t)}{t-1}\,\text{d}t}.

  1. Déterminer le dommaine {D} de la fonction {I}.
  2. Montrer que {I} est {\mathcal C^1} sur {D}.
  3. Calculer pour {I(x+1)-I(x)} pour {x\in D}.
  4. Déterminer la limite de {I} en {+\infty}.
  5. Donner un équivalent de {I} en {-1} et en {+\infty}

Séries entières et intégrales

(Oral Centrale)
Soit {R>0} le rayon de convergence de {S(z)=\displaystyle\sum a_{n}z^{n}}.
Pour {r\in \lbrack 0,R[}, on montre que :{\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}|a_{k}|^{2}r^{2k}=\displaystyle\int_{0}^{2\pi }|S(re^{i\theta })|^{2}\,d\theta}On voit deux méthodes très différentes.

Une suite/série implicite

(Oral Centrale)
Montrer que : {\forall\,n\in \mathbb{N},\;\exists!\,a_{n}\in\mathbb{R},\;e^{a_{n}}+na_{n}=2}
Déterminer la nature des séries {\displaystyle\sum a_{n}} et {\displaystyle\sum(-1)^{n}a_{n}}.
Déterminer la limite de {n(1-na_{n})} en {+\infty}.
Développer {a_n} à la précision {o\left(\dfrac{1}{n^3}\right)}.

Une forme linéaire sur Rn[X]

(Oral Centrale)
Soit {L} la forme linéaire définie sur {E=\mathbb{R}_{n}[X]} par :{\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\displaystyle\int_{-1}^{1}P(x)dx}On se donne {-1\leq x_{0}\lt ...\lt x_{n}\leq 1}.
Montrer qu’il existe {(\lambda _{0},\ldots\lambda _{n})\in \mathbb{R}^{n+1}} tel que : {\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\lambda _{k}P(x_{k})}

Fonctions additives bornées à l’origine

(Oral Centrale)
Soit {f\colon\mathbb{R}\in\mathbb{R}} telle que : {\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^{2},\;f(x+y)=f(x)+f(y)}Déterminer {f(0)}. Pour {x\in\mathbb{R}} et {\lambda\in\mathbb{Q}}, exprimer {f(\lambda x)} en fonction de {f(x)}.
On suppose {f} continue en {0}. Montrer que {f} est continue sur {\mathbb{R}}. Dans ce cas, déterminer {f}.
Idem avec {f} bornée au voisinage de {0}.

Limite de fonctions inverses

(Oral Centrale 2018)
On pose : {\forall\,n\in\mathbb{N}^{*},\;A_{n}:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{x^{k}}{k}}.
Montrer que : {\forall\,y\in\mathbb{R}^{+},\;\exists\,!\,x\in\mathbb{R}^{+},\;A_{n}(x)=y}.
On note {x=f_{n}(y)}. Tracer des fonctions {f_n}.
Montrer que la suite {(f_n)_{n\ge1}} converge simplement sur {\mathbb{R}^+} vers {f\colon x\mapsto1-\text{e}^{-x}}.

Nombres de Bell

(Oral Centrale 2018)
On pose {u_{0}=1} et : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}u_{k}}.
Écrire une fonction Python calculant {u_n}.
Conjecturer la valeur de {\dfrac{1}{\text{e}}\displaystyle\sum\limits_{k\ge 0}\dfrac{k^{n}}{k!}}.
Prouver cette conjecture. Calculer {f(x)=\displaystyle\sum\dfrac{u_{n}}{n!}x^n}.

Un jeton et quatre cases

(Oral Centrale 2018)
Un jeton se déplace aléatoirement sur quatre cases, selon un protocole particulier.
On demande une simulation de l’expérience avec Python.
On diagonalise la matrice de transition, pour étudier la probabilité que le jeton se trouve sur telle ou telle case à la date {n} quand {n\to+\infty}

Séries à convergence rapide

(Oral Centrale 2018)
Justifier l’existence de :{S_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{16^{k}(8k+n)}\;\text{et}\;I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\text{d}x}{1-i-x}}Exprimer {I} en fonction de {S_{1},S_{2},\ldots,S_{8}}. Calculer directement {I}.

Une équation fonctionnelle

(Oral Centrale 2018)
Soit l’équation {(E)}: {f\Big(\dfrac{x}{2}\Big)+f\Big(\dfrac{x+1}{2}\Big)=f(x)} d’inconnue {f:[0,\;1]\rightarrow \mathbb{R}}.
Déterminer les solutions {\mathcal{C}^{2}} de {(E)}
Montrer que {S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\sin (2^{n}\pi x)}{2^{n}}} vérifie {(E)}
Montrer que {S} n’est pas {\mathcal{C}^{2}}

Produits infinis

(Oral Centrale 2018)
Soit {(a_{n})\in (\mathbb{R}^{+*})^{\mathbb{N}}}. On pose {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}a_{k}}.
On dit que le produit (infini) {\displaystyle\prod_{k\ge0}a_{k}} converge si la suite {(P_{n})} converge dans {\mathbb{R}^{+*}}.
Établir des conditions pour qu’un produit infini converge.

Une suite implicite paramétrée

(Oral Centrale 2018)
Soit {f_{n}(t)=\dfrac{e^{t}}{1+t^{n}}\;\text{et}\;\Phi _{n}(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f_{n}(t)\text{d}t}
Étudier la convergence de {(f_{n})}. Montrer :
{\forall\,\alpha >0,\;\exists\,!\;x_{n}(\alpha )\in\mathbb{R}^{+},\;\Phi _{n}(x_{n}(\alpha ))=\alpha}Étudier {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_{n}(\alpha)}.

Deux suites d’intégrales

(Oral Centrale 2018)
On pose {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\cos\Bigl(\dfrac{t}{n}\Bigr)\dfrac{\,\text{d}t}{{t}^{n}+t^{2}+1}}.
De même, soit {J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\sin\Bigl(\dfrac{t}{n}\Bigr)\dfrac{n\,\text{d}t}{t^{n}+t^{2}+1}}.
Déterminer les limites de {(I_{n})} et {(J_{n})}.

Somme d’une série alternée

(Oral Centrale 2018)
Donner un équivalente de {S_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=3}^{n}\dfrac{\ln k}{k}}.
Montrer que la suite {n\mapsto u_{n}=S_{n}-\dfrac{\ln ^{2}(n)}{2}} converge.
Calculer {T=\displaystyle\sum_{k=3}^{+\infty}(-1)^k\dfrac{\ln(k)}{k}} (en fonction de la constante d’Euler)

Vecteurs obtusangles

(Oral Centrale 2018)
Dans {\mathbb{R}^n}, soit {v_{1}\ldots,v_{n+1}} avec {(v_{i}\mid v_{j})=-1} si {i\neq j}.
Soit {w_{1},\ldots,w_{n+1}} tels que {(v_{i}\mid v_{j})=(w_{i}\mid w_{j})} pour tous {i,j}. Montrer qu’il existe un unique {u\in O(\mathbb{R^n})} tel que {u(v_{i})=w_{i}} pour tout {i}.

Produit de Kronecker

(Oral Centrale 2018)
Dans {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})} on pose :{F(A,B)=\begin{pmatrix}aB & bB \\ cB & dB\end{pmatrix}\text{\ quand\ }A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}}Montrer que {F(A,B)F(A',B')=F(AA',BB')}.
Donner le rang, la trace, le déterminant de {F(A,B)}.
A-t-on {A,B} diagonalisables {\Rightarrow F(A,B)} diagonalisable? Réciproque?

Puissances de A à spectre simple

(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} admettant {n} valeurs propres distinctes. Montrer qu’il existe {\begin{cases}(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n})\in\mathbb{R}^n\\M_{1},\ldots,M_{n}\in\textrm{Vect}(I_{n},A,A^{2},\ldots,A^{n-1})\end{cases}}
tels que : {\forall p\in\mathbb{N},\;A^{p}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha _{k}^{p}M_{k}}.

Équations matricielles

(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que {A^{3}=I_{3}}, et {b\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}.
Résoudre l’équation {Ax=x-b} où {x\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}.

Réduction d’endo. nilpotent

(Oral Centrale 2018)
Soit {v\in\mathcal{L}(E)}, avec {\dim(E)=3n}.
On suppose {v^{3}=0}, {v^{2}\neq 0} et {\mathrm{rg} (v)=2n}.
Montrer que {\text{Ker}(v)\subset \text{Im}(v^2)}.
Former une base où {v} a pour matrice {\begin{pmatrix}0_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ I_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ 0_{n} & I_{n} & 0_{n}\end{pmatrix}}

Polynômes à valeurs positives

(Oral Centrale 2018)
Soit {P\in\mathbb{C}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}}. Montrer que {P\in\mathbb{R}[X]}.
Soit {P\in\mathbb{R}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. On pose {Q=\displaystyle\sum\limits_{k\ge0}P^{(k)}}.
Montrer que {Q(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. Réciproque?

Tangente hyperbolique complexe

(Oral Centrale 2018)
Définissons, pour tout {z\in\mathbb{C}}: {\text{ch}(z)=\dfrac{e^{z}\!+\!e^{-z}}{2},\,\text{sh}(z)=\dfrac{e^{z}\!-\!e^{-z}}{2i},\,\text{th}(z)=\dfrac{\,\text{sh}(z)}{\,\text{ch}(z)}}Déterminer le domaine de {\mathrm{th}}. Résoudre {\mathrm{th}(z)=0}.
Résoudre {|\text{Im}(z)|\lt \dfrac{\pi}{2}} et {|\mathrm{th}(z)|\lt 1}.

Existence d’un vecteur cyclique

(Oral Centrale 2018)
Soit {E} un ev de dimension {n\geq 1}. Soit {u\in\mathcal{L}(E)}.
On dit que {x\in E} est cyclique si {(x,u(x),\ldots,u^{n-1}(x))} est une base de {E}.
Dans cet exercice, on étudie l’existence d’un vecteur cyclique.