Centrale
Exercices corrigés donnés au concours « Centrale »

Fonction d’une loi de Poisson

(Oral Centrale)
Soit

{X}

une v.a.r. telle que

{X\leadsto \mathcal{P}(\lambda)}

.
Si

{X}

est paire, on pose

{Y = X\text{/}2}

, et

{Y=0}

sinon.
Donner la loi de

{Y}

, son espérance et sa variance.

➡️

Minimum dans un tirage aléatoire

(Oral Centrale)
En une seule prise, on tire

{k}

boules dans une urne contenant

{n}

boules numérotées de

{1}

{n}

. On note

{X}

le plus petit numéro obtenu. On détermine ici la loi puis l’espérance de

{X}

➡️

Un opérateur « valeur moyenne »

(Oral X-Cachan, Mines-Ponts, Centrale)
Soit

{E}

l’ensemble des fonctions continues de

{\mathbb{R}^{+*}}

dans

{\mathbb{R}}

.
Soit

{T\colon E\rightarrow E}

, défini par

{T(f)(x)=\dfrac{1}{x}\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,\text{d}t}

.
On étudie les éléments propres de

{T}

➡️

Une équation fonctionnelle

(Oral Centrale)
On cherche les

{f:\mathbb{R}^{+*}\rightarrow \mathbb{R}}

telles que :

{\displaystyle\lim_{+\infty}f= 0\text{\ et \ }\forall x\gt0,\;f(x\!+\!1)\!+\!f(x)\!=\!\dfrac{1}{x}}

On montre l’existence et l’unicité de la solution

{f}

.
On en donne l’expression sous la forme de la somme d’une série de fonctions.

➡️

Une intégrale à paramètre

(Oral Centrale)
Soit

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\text{e}^{-t^{2}x}}{1+t^{2}}\,\text{d}t\;}

.
On étudie son domaine

\mathcal{D}

, sa dérivabilité, et le comportement aux bornes.

➡️

Interversion série-intégrale

(Oral Centrale)
Soit

{(u_n)}

une suite croissante de

{\mathbb{R}^{+*}}

, divergente.
Montrer que :

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl( \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^ne^{-u_nx}\biggr)\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{u_n}.\quad}

➡️

DSE de arctan(1+x)

(Oral Centrale)
Développer

{f\colon x\mapsto \text{arctan}(1+x)}

en série entière.

➡️

Une série de fonctions

(Oral Centrale)
Soient

{p\in\mathbb{N}}

{f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n^p e^{-nx}}

.
Domaine et dérivabilité de

{f}

. Équivalent en

{0^+}

➡️

Polynômes et dérivations

(oral Centrale)
Soient

{P\in\mathbb{R}[X]}

{Q=\displaystyle\sum_{k\ge0}P^{(k)}}

.
Montrer que si

{P}

est sans racine réelle alors

{Q}

aussi.

➡️

Produits de sommes de puissances

(oral Centrale)
Soit

{(x,y,z)\in\,\mathbb{C}^3}

tel que

{x+y+z=0}

.
Montrer que :

{\dfrac{x^5+y^5+z^5}5=\dfrac{x^2+y^2+z^2}2\times\dfrac{x^3+y^3+z^3}3.}

➡️

Involutions et séries entières

(Oral Centrale)
Soit

{I_{n}}

le nombre d’involutions de

{[\![1,n]\!]}

avec

{I_{0}=1}

.
1. Donner

{I_{1},I_{2},I_{3}}

. Montrer :

{I_{n+1}=I_{n}+nI_{n-1}}

.
2. Montrer que

{S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{I_{n}}{n!}x^{n}}

est de rayon

{R > 0}

.
3. Calculer

{(1\!+\!x)S(x)}

et en déduire

{S(x)}

{I_{n}}

➡️

Développement en série entière

(Oral Mines-Ponts et Centrale)
Déterminer le rayon de

{g(x)=\exp\biggl(\displaystyle\sum_{n= 1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n^2}\biggr)}

➡️

Matrices de trace nulle (bis!)

(Oral Centrale)
Soit

{M}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, avec

{n\ge1}

, telle que

{\text{tr}(M)=0}

.
Montrer qu’il existe

{P\in O(n)}

telle que

{P^{\top}MP}

soit de diagonale nulle.

➡️

Une série génératrice

(Oral Centrale)
Soit

{a_n}

le coefficient de

{X^n}

dans

{(X^2\!+\!X\!+\!1)^n}

.
Montrer que

{f(x)=\displaystyle\sum_{n\geq0}a_nx^n}

est de rayon

{R\ge\dfrac{1}{3}}

.
On admet la relation :

{na_n=(2n\!-\!1)a_{n-1}+3(n\!-\!1)a_{n-2}}

(voir l’article « Coefficient trinomial central »)
Déterminer

{R}

. Exprimer

{f(x)}

➡️

Le coefficient trinomial central

(oral Centrale)
Soit

{a_n}

le coefficient de

{X^n}

dans

{(X^2+X+1)^n}

.
Trouver une relation de récurrence entre les

{a_n}

➡️

Somme de projecteurs orthogonaux

(Oral Centrale)
Soient

{p}

{q}

deux projecteurs orthogonaux d’un espace euclidien

{E}

.
1. Montrer que le polynôme caractéristique de

{u = p + q}

est scindé.
2. Montrer que

{\text{Sp}(u)\subset[0,2]}

.
3. Déterminer

{\text{Ker}(u)}

{\text{Ker}(u - 2\text{Id})}

➡️

Polynômes positifs sur IR+

(oral Centrale)
Soit

{P\in\mathbb{R} [X]}

. Montrer que

{(a)\Leftrightarrow(b)}

:
(a)

{\forall x\in\mathbb{R}^{+},\;P(x)\ge 0}

(b)

{\exists(A,B)\in\mathbb{R}[X]^{2},\;P(X)=A^{2}+XB^{2}}

➡️

Base de matrices de rang p

(Oral Centrale)
Soient

{n\in\,\mathbb{N}^*}

{p\in\{1,\ldots ,n\}}

. L’objectif de l’exercice est de montrer qu’il existe une base de

{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

formée de matrices de rang

{p}

➡️

Égalité AC=CB avec C de rang r

(Oral Centrale)
Soient

A, B,C\in\, \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})

avec

AC=CB

soit

r=\text{rg}(C)

. Montrer que

A,B

ont au moins

r

valeurs propres en commun (comptées avec leur ordre de multiplicité).

➡️