Une équation fonctionnelle

(Oral Centrale)
On cherche les {f:\mathbb{R}^{+*}\rightarrow \mathbb{R}} telles que : {\displaystyle\lim_{+\infty}f= 0\text{\ et \ }\forall x\gt0,\;f(x\!+\!1)\!+\!f(x)\!=\!\dfrac{1}{x}}

  1. Montrer qu’il y a au plus une solution {f}.
  2. Montrer que, pour {x\in\mathbb{R}^{+*}} et {n\in\mathbb{N}^*} :
    {f(x)\!+\!(-1)^{n-1}f(x\!+\!n)\!=\!\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(-1)^k}{x+k}\ (E_{n})}
  3. Montrer que {f} existe.
    Est-elle continue ? intégrable sur {[1,+\infty[} ?

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).