Série de fonctions et Fibonacci
(Oral Centrale) On étudie la somme de la série de fonctions {\sum x^n/(1-x^n)}. On termine par une expression de la série des {1/F_{2n}}, où {F} est la suite de Fibonacci.
Concours Centrale
Une série de fonctions
Oral Centrale) On définit la fonction {\varphi(u)=u(1-u^2)/(1+u^2)}, et on étudie la série de fonctions {\sum\varphi(x^n)} (domaine, continuité, équivalent).
Série des inverses des nombres de Catalan
(Oral Centrale) On définit la suite des nombres de Catalan {c_n}. Par des méthodes de séries entières, on calcule la somme de la série des {1/c_n} et des {n/c_n}.
Méthode de Newton et convergence uniforme
(Oral Centrale) On définit une suite numérique par récurrence et avec une méthode de Newton. On étudie le mode de convergence en fonction du terme initial.
Suites récurrentes et produit de Cauchy
(Oral Centrale) On définit une suite numérique par récurrence forte. Par des arguments de séries entières, on obtient une expression explicite du terme général.
Une récurrence très sensible
(Oral Centrale) On étudie (avec Python, puis théoriquement) le comportement d’une suite récurrente, en fonction de la valeur de son terme initial.
Une récurrence linéaire d’ordre 2
(Oral Centrale) On étudie les suites {u} satisfaisant à une certaine récurrence linéaire d’ordre 2 à coefficients non constants (monotonie, domination puis équivalent en {+\infty}).
Étude d’une suite récurrente d’ordre 1
(Oral Centrale) On étudie les suites définies par la relation {u_{n+1}=f(u_n)}, où {f(x)=x+\ln x}. Dans le cas particulier {u_0=2}, on trouve un équivalent de {u_n}.
Équivalent dans une récurrence de pas 2
(Oral Centrale) On considère une suite {(x_n)} définie par une récurrence (non linéaire) de pas 2. Par l’utilisation d’une suite auxiliaire, on calcule un équivalent de {x_n}.
Ordre minimal d’une récurrence linéaire
(Oral Centrale) Si la suite {u} vérifie une récurrence linéaire d’ordre {p}, on étudie l’ordre minimal {r} d’une récurrence linéaire que pourrait vérifier {u}.
Développement en produit infini
(Oral Centrale) On définit une suite de fonctions par récurrence; on établit qu’elle converge vers une certaine fonction {f}, et avec une vitesse cubique de convergence.
Approximation de racines de polynômes
(Oral Centrale) On étudie la convergence de la suite formée de l’unique racine positive d’un polynôme {P_n}. On établit la vitesse de convergence de cette suite.
Développement d’une racine d’un polynôme
(Oral Centrale) On montre que la solution positive de {x^n=x+1} a un développement à tout ordre en {1/n}, et on calcule explicitement ce développement à la précision {1/n^3}.
Une comparaison de moyennes
(Oral Centrale) On étudie et on compare une famille (dépendant d’un paramètre {p}) de fonctions qui réalisent une moyenne de deux réels strictement positifs.
Une approximation de π
(Oral Centrale) On définit deux suites récurrentes {(a_n)} et {(b_n)}, puis une troisième suite {(c_n)} qui en dépend. Par des calculs asymptotiques, on voit que la suite {(c_n)}converge très rapidement vers π.
Une algèbre de matrices 3×3
(Oral Centrale) On considère un ensemble {E} de matrices carrées d’ordre 3, dépendant de deux paramètres. On montre que {E} est une sous-algèbre de {\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}. On étudie les puissances et la diagonalisabilité des éléments de {E}.
Spectre de sous-matrices principales
(Oral Centrale) Soit {A} une matrice symétrique réelle, et {B} une sous-matrice principale de {A}. On montre que si {B} est à spectre simple, alors il en est de même de {A}, et les valeurs propres de {B} séparent celles de {A}.
Espace de matrices toutes diagonalisables
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on étudie la dimension maximale d’un sous-espace de {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})} formé de matrices toutes diagonalisables, et on voit quelques exemples.
Sous-algèbre sans nilpotents
(Oral Centrale) Soit {\mathcal{A}} une sous-algèbre commutative de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}), contenant In et sans nilpotent. Alors {\dim(\mathcal{A})\le n} et les éléments de {\mathcal{A}} sont diagonalisables.
Réduction de matrices par blocs
(Oral Centrale) Si {M} est une matrice carrée, on forme la matrice par blocs {N=\begin{pmatrix}M&M^2\\0&M\end{pmatrix}}. On étudie la diagonalisabilité de {N}, et son polynôme minimal.