Série entière et coefficients binomiaux

(Oral Centrale)

Donner le rayon ${R}$ de ${f(x)\!=\!\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dbinom{2n}{n}x^n}$ .Montrer que ${f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-4x}}}$ .
Montrer que, pour tout ${n\in\mathbb{N}}$ : ${4^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n \dbinom{2k}{k}\dbinom{2n-2k}{n-k}}$ .

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