Exercice (oral Centrale/Supélec)
Soit {f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+}}, continue, positive, intégrable.
On suppose {\displaystyle\lim_{+\infty}f=0}. On note {M=\displaystyle\sup_{x\ge0}f(x)}.
On pose : {\forall\,t\geqslant 0,\;F(t)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\dfrac{f(x)}{1+tf(x)}\text{d}x}.
| Question 1 Montrer que {F} est bien définie sur {\mathbb{R}^{+}}, et qu’elle y est de classe {\mathcal{C}^{+\infty}}. |
| Question 2 Montrer : {\forall\,t\in \Big[0,\dfrac{1}{M}\Bigr],\; F(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty }\dfrac{F^{\left(n\right) }(0)}{n!}t^{n}} |
| Question 3 Déterminer {\displaystyle\lim_{t\rightarrow +\infty }F(t)}. |
| Question 4 Déterminer un équivalent en {+\infty} de {F} dans le cas particulier où {f=\dfrac{1}{\text{ch}}} |