Mpsi Pcsi

Des centaines d’exercices corrigés pour les classes de Math Sup Mpsi et Pcsi

Une équation intégrale

(Oral Mines-Ponts)
On considère l’équation d’inconnue {f\in C^{0}(\mathbb{R}^{+})} :{(E) :\forall\,x\geq0,\;x^{2}f(x)=2\displaystyle\int_{0}^{x}tf(x-t)\mathrm{d}t}
Montrer que toute solution {f} est {C^{\infty}} sur {\mathbb{R}^{+*}}.
Déterminer toutes les solutions de {(E)}.

Suites lentement convergentes

(Oral Mines-Ponts)
Soit une suite {(u_n)} convergente à termes tous distincts.
On dit que {(u_n)} est lentement convergente si : {\exists\,\rho\!>\!0,\exists\,N\!\ge\!1,\forall n\!\geq\! N,|u_{n+1}\!-\!u_{n}|\!\ge\! \rho\,|u_{n}\!-\!u_{n-1}|}Étudier le cas des suites géométriques, et de {u_{n}=\dfrac{1}{n!}}
Montrer que nécessairement {\rho \in\,] 0,1[}.