Sup
Exercices corrigés pour les classes de 1ère année.

Équivalent d’une somme alternée

(Oral Mines-Ponts)
Calculer un équivalent de

{b_{n}=\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k}\sqrt{k}}

.

Intégrale fonction de ses bornes

(Oral Mines-Ponts)
On pose

{f(x)=\displaystyle\displaystyle\int_{x}^{x^{2}}\dfrac{\,\text{d}t}{\ln t}}

.
Montrer que

{f}

est prolongeable par continuité sur

{\mathbb{R}_{+}}

.
Montrer que ce prolongement est

{C^{\infty }}

sur

{\mathbb{R}_{+}^{\ast}}

mais pas sur

{\mathbb{R}_{+}}

.

Fonctions additives bornées à l’origine

(Oral Centrale)
Soit

{f\colon\mathbb{R}\in\mathbb{R}}

telle que :

{\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^{2},\;f(x+y)=f(x)+f(y)}

Déterminer

{f(0)}

. Pour

{x\in\mathbb{R}}

et

{\lambda\in\mathbb{Q}}

, exprimer

{f(\lambda x)}

en fonction de

{f(x)}

.
On suppose

{f}

continue en

{0}

. Montrer que

{f}

est continue sur

{\mathbb{R}}

. Dans ce cas, déterminer

{f}

.
Idem avec

{f}

bornée au voisinage de

{0}

.

Majoration des racines d’un polynôme

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{P=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{0}\in \mathbb{C}[X]}

.
On pose

{A=|a_{n-1}|+\cdots +|a_{0}|}

.
Soit

{z}

une racine de

{P}

.
Montrer que

{|z|\leq \max \{1,\ A\}}

.

Une décomposition en éléments simples

(Oral Mines-Ponts)
Montrer qu’il existe un unique polynôme

{P_n}

tel que :

{P_{n}\Big(X+\dfrac{1}{X}\Big)=X^{n}+\dfrac{1}{X^{n}}}

Décomposer

{1/P_{n}}

en éléments simples.

Polynômes scindés simples (ou pas)

(Oral Centrale)
Soit

{P\in\mathbb{K}[X]\setminus\mathbb{K}}

. Existe-t-il toujours

{\lambda\in\mathbb{K}}

tels que

{P(X)-\lambda}

soit scindé simple dans

{\mathbb{K}[X]}

? (distinguer

{\mathbb{K}=\mathbb{R}}

puis

{\mathbb{K}=\mathbb{C}}

).

Opérateur Delta sur les polynômes

(Oral Centrale)
Sur

{\mathbb{R}_{n}[X]}

, avec

{n\ge1}

, on pose

{\Delta(P(X))=P(X+1)-P(X)}

Montrer que

{\Delta}

est nilpotent. En déduire :

{\forall\, P\in\mathbb{R}_{n-1}[X],\;\displaystyle\displaystyle\sum_{j=0}^{n}(-1)^{n-j}\binom{n}{j} P(X\!+\!j)=0}

Suites arithmétiques ou géométriques (2)

Exercices sur le thème « suites arithmétiques ou géométriques ».

Le second degré

Huit exercices sur les questions (pas toujours évidentes) relatives aux racines des polynômes du second degré et à leurs propriétés

Dérivées et tracés rapides

Quelques exercices de calculs de dérivées et de tracés de fonctions numériques, dans des cas simples.

Petits calculs rapides

Un éventail de questions simples, à traiter le plus vite possible (« de tête » ou avec un minimum d’écriture). Visez toujours la rapidité d’exécution.

Raisonnements par l’absurde

Quelques exercices illustrant le raisonnement par l’absurde.

Raisonnements divers

Six exercices illustrant divers aspects du raisonnement mathématique.

Raisonnements de graphes

Quelques exercices de logique dont la solution nécessite un raisonnement en termes de graphes.

Récréations logiques

Quelques exercices de logique amusante.

Conditions nécessaires ou suffisantes

Quelques exercices sur les notions de condition nécessaire ou suffisante en logique mathématique.

Logique et suites numériques

On étudie ici les liens logiques entre propriétés des suites de réels, ainsi que l’utilisation des quantificateurs pour décrire ces propriétés.

Médecins fous, patients sains

Problème de logique: vous inspectez un hôpital psychiatrique où les médecins et les patients sont indifféremment sains d’esprit ou totalement fous.

Un problème empoisonnant

Un problème de logique. Lors de ses aventures au pays des merveilles, Alice doit résoudre les énigmes posées par le chat de Cheshire.

Un problème archéo-logique

Un problème de logique. Vous êtes archéologue et avez découvert le tombeau d’un Pharaon. Pour rejoindre l’air libre, vous allez devoir résoudre des énigmes.

Le professeur menteur

Un problème de logique où il est question d’une école d’informatique et de trois professeurs, dont l’un donne des consignes contradictoires (mais lequel?)

Formule de Bayes

Deux exercices sur le thème « formule de Bayes ».

Boules et urnes

On considère trois urnes :

{U_{1}}

(deux boules blanches et trois rouges),

{U_{2}}

(deux boules vertes et quatre blanches),

{U_{3}}

(cinq boules noires et deux rouges).
On tire une boule

{U_{1}}

et on la met dans

{U_{2}}

. Idem de

{U_{2}}

vers

{U_{3}}

. Enfin on tire une boule dans

{U_{3}}

.
Quelle est la probabilité que les trois boules tirées soient de couleurs différentes ?

Indépendance d’événements

On s’intéresse à l’indépendance d’événements liés au lancement de plusieurs dés.

Mme Michu cherche son parapluie

Mme Michu cherche son parapluie qui se trouve (peut être!) dans l’un des 7 étages de son immeuble…

Quatre pions sur trois cases

On dispose au hasard quatre pions sur trois cases (assez grandes pour contenir tous les pions).
Quelle est la probabilité qu’une case au moins soit vide?

Somme de probabilités

Soit

{A,B,C}

trois événements. Simplifier :

{\mathbb{P}(A\cup B)\!+\!\mathbb{P}(\overline{A}\cup B)\!+\!\mathbb{P}(A\cup\overline{B})\!+\!\mathbb{P}(\overline{A}\cup\overline{B})\!=3\!}

Ensuite on généralise ce résultat.

Séries à termes positifs (2)

Huit exercices sur le thème « séries à termes positifs » (2/2)

Séries à termes positifs

Exercices sur le thème « séries à termes positifs »

Polynômes à valeurs positives

(Oral Centrale 2018)
Soit

{P\in\mathbb{C}[X]}

tel que

{P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}}

. Montrer que

{P\in\mathbb{R}[X]}

.
Soit

{P\in\mathbb{R}[X]}

tel que

{P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}

. On pose

{Q=\displaystyle\sum\limits_{k\ge0}P^{(k)}}

.
Montrer que

{Q(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}

. Réciproque?

Tangente hyperbolique complexe

(Oral Centrale 2018)
Définissons, pour tout

{z\in\mathbb{C}}

:

{\text{ch}(z)=\dfrac{e^{z}\!+\!e^{-z}}{2},\,\text{sh}(z)=\dfrac{e^{z}\!-\!e^{-z}}{2i},\,\text{th}(z)=\dfrac{\,\text{sh}(z)}{\,\text{ch}(z)}}

Déterminer le domaine de

{\mathrm{th}}

. Résoudre

{\mathrm{th}(z)=0}

.
Résoudre

{|\text{Im}(z)|\lt \dfrac{\pi}{2}}

et

{|\mathrm{th}(z)|\lt 1}

.

Un développement asymptotique

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{x_n}

la racine de

{x^{3n}-3nx+1}

dans

{[1,+\infty[}

.
Trouver

{a,b}

tels que

{x_{n}=1\!+\!a\dfrac{\ln n}{{n}}\!+\!\dfrac{b}{n}+\text{o}\Big(\dfrac{1}{n}\Big)}

.

Puissances de matrices stochastiques

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R^+})}

, où

{n\ge2}

et

{\forall i,\;\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}=1}

.
Montrer que la suite

{(A^{k})_{k\ge0}}

converge.

Famille obtusangle

(Oral Centrale)
On se donne

{(e_{1},\ldots,e_{p})}

dans

{\mathbb{R}^{n}}

euclidien, tels que

{(e_{i}\mid e_{j})\lt 0}

pour

{i\neq j}

.
Montrer que

{(e_{1},\ldots,e_{p-1})}

est libre. Conséquence?

Une équation fonctionnelle

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les

{f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})}

telles que :

{\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)}

.

Moyenne des itérés de u quand u^m = Id

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

tel que

{u^{m}=\text{Id}}

et

{p=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}u^k}

.
Montrer que

{p^2=p}

et

{\dim \text{Ker}(u-\text{Id})=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{m-1}\text{tr}(u^{k})}

.

Polynômes dérivés successifs

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n+1}}

. À quelle condition a-t-on:

{\forall Q\in\mathbb{C}_{n}[X],\;\exists P\in\mathbb{C}_{n}[X],\;Q=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}P^{(k)}}

Trace et formes linéaires

(Oral Mines-Ponts 2018)
Caractériser les formes linéaires

{\varphi}

sur

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

telles que

{\varphi (MN)=\varphi (NM)}

Suites de polynômes d’Appell

(Oral Mines-Ponts 2018)
Étude des polynômes définis par :

{B_{0}=1\text{\ et\ }\forall\,n\in\mathbb{N}^*,\;B_{n}'=nB_{n-1}}

Inégalité PP » ≤ (P’)² si P est réel scindé

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer l’inégalité

{PP''≤(P')^2}

si

{P}

est un polynôme réel scindé.

Polynômes stabilisant {z∊ℂ, |z|=1}

(Oral Mines-Ponts 2018)
On note

{\mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C},\;|z|=1\}}

.

Soit ${P\in\mathbb{C}[X]}$ . Montrer que ${P(\mathbb{U})\subset\mathbb{U}\Leftrightarrow P=aX^{n}}$ avec ${|a|=1}$

Une simple curiosité

(Oral Mines-Ponts 2018)
On observe les égalités:

{9\times 1+2=11,\;9\times12+3=111,\;9\times 123+4=1111}

Quelle généralisation peut-on imaginer ? Démontrer cette conjecture.

4A³+2A²+A=0, avec A ∈ Mn(ℤ)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})}

avec

{4A^{3}+2A^{2}+A=0}

. Que dire de

{A}

?

Suites polynomiales d’entiers

(Oral Centrale Mp)
Caractérisation des « suites polynomiales d’entiers »

Polynômes stables

(Oral Centrale Mp)
Polynômes stables

Dérivée n-ième de f(x)=1/(1+e^x)

(Oral Centrale Mp)
Expression de la dérivée

{n}

-ième de

{f(x)=\dfrac{1}{1+\text{e}^x}}

Points entiers sur une cubique

(Oral Centrale Mp)
Points à coordonnées entières sur la cubique x^3+y^3=a ( a entier >0)

Résolution d’un système tridiagonal

(Oral Centrale Mp)
Résolution itérative d’un système linéaire tridiagonal

Somme des inverses des « k parmi n »

(Oral Centrale Mp)
Étude de la somme des inverses des

{\dbinom{n}{k}}

, pour

{0\le k\le n}

.

Étude de la suite n ⟼ (1+1/n)^n+a

(oral Centrale Mp)
Pour tout réel

{a}

, on sait que la suite

{n \mapsto (1+1/n)^{n+a}}

tend vers e. Dans cet exercice, on étudie la monotonie de cette suite, et sa position par rapport à la limite e, en fonction du paramètre

{a}

.