Vrai/Faux (trigonométrie)

Voici un Vrai/Faux de 17 affirmations sur le thème « Trigonométrie ». À chacune d’elles, on répond par « Vrai » si elle est « tout le temps vraie », et par Faux… sinon!

On ne répond pas au hasard : on saura dire pourquoi une propriété est vraie, ou alors trouver un contre-exemple si elle est fausse.

On a

{\cos x=-\dfrac{\sqrt3}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{5\pi}{6}\!+\!2k\pi}

, avec

{k\in\mathbb{Z}}

Vrai? Faux?

C’est faux : il manque les

{x=-\dfrac{5\pi}{6}\!+\!2k\pi}

{k\!\in\!\mathbb{Z}}

.
Plus généralement :

{\cos x=\cos\theta\Leftrightarrow\begin{cases}x\equiv\theta\ [2\pi]\\\;\text{ou}\;x\equiv-\theta\ [2\pi]\end{cases}}

On a

{\dfrac{\text{e}^{2i\theta}-1}{\text{e}^{2i\theta}+1}=i\tan\theta}

Vrai? Faux?

C’est vrai :

{\dfrac{\text{e}^{2i\theta}-1}{\text{e}^{2i\theta}+1}=\dfrac{\text{e}^{i\theta}-\text{e}^{-i\theta}}{\text{e}^{i\theta}+\text{e}^{-i\theta}}=\dfrac{2i\sin\theta}{2\cos\theta}=i\tan\theta}

{\cos x=\sin x\Leftrightarrow x=\dfrac\pi4+k\pi}

{k\in\mathbb{Z}}

Vrai? Faux?

C’est vrai :

{\cos x=\sin x\Leftrightarrow \tan x=1}

(car

{\cos x=0}

est ici exclu).
Et :

{\tan x=1\Leftrightarrow \tan x=\tan\dfrac{\pi}{4}\Leftrightarrow x\equiv\dfrac{\pi}{4}\ [\pi]}

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