Quiz (dé-quantification)

Voici 10 propositions portant sur une fonction {f} définie sur {\mathbb{R}} et à valeurs réelles.
Ces propositions sont écrites avec des quantificateurs. On demande d’identifier leur signification, et de les exprimer dans le langage courant.


{\forall\,x\in\mathbb{R},\;f(x)>0\Rightarrow x>0}
Réponse
On comprend mieux avec la contraposée: {\forall\,x\in\mathbb{R},\;x\le 0\Rightarrow f(x)\le 0}.
Cette propriété signifie donc que {f} ne prend que des valeurs négatives ou nulles sur {\mathbb{R}^-}.
La formulation initiale (équivalente) dit qu’il n’y a que sur {\mathbb{R}^{+*}} que {f} peut prendre une valeur strictement positive.

{\forall\,M\in\mathbb{R},\;\exists\, a\in\mathbb{R},\;x\le a\Rightarrow f(x)\ge M}
Réponse
Pour tout réel {M} (sous-entendu aussi grand soit-il « du coté de {+\infty} »), il existe un réel {a} tel que, sur l’intervalle {]-\infty,a]}, toutes les valeurs prises par la fonction {f} soient supérieures ou égale à {M}. De façon plus concise, cela signifie que la limite de {f(x)}, quand {x} tend vers {-\infty}, vaut {+\infty}. Ou encore, de façon encore plus concise : {\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty}.

{\forall\,x\in\mathbb{R},\;\exists\,y\in\mathbb{R},\;y=f(x)}
Réponse
Cette propriété est évidemment vraie pour toute foncion {f}, donc ne présente aucun intérêt : elle dit que pour tout réel {x}, il existe un réel {y} égal à {f(x)} (évidemment, ce réel c’est {f(x)}).

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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.