Quiz (dé-quantification)

Voici 10 propositions portant sur une fonction ${f}$ définie sur ${\mathbb{R}}$ et à valeurs réelles.
Ces propositions sont écrites avec des quantificateurs. On demande d’identifier leur signification, et de les exprimer dans le langage courant.

{\forall\,x\in\mathbb{R},\;f(x)>0\Rightarrow x>0}

Réponse

On comprend mieux avec la contraposée:

{\forall\,x\in\mathbb{R},\;x\le 0\Rightarrow f(x)\le 0}

.
Cette propriété signifie donc que

{f}

ne prend que des valeurs négatives ou nulles sur

{\mathbb{R}^-}

.
La formulation initiale (équivalente) dit qu’il n’y a que sur

{\mathbb{R}^{+*}}

que

{f}

peut prendre une valeur strictement positive.

{\forall\,M\in\mathbb{R},\;\exists\, a\in\mathbb{R},\;x\le a\Rightarrow f(x)\ge M}

Réponse

Pour tout réel

{M}

(sous-entendu aussi grand soit-il « du coté de

{+\infty}

»), il existe un réel

{a}

tel que, sur l’intervalle

{]-\infty,a]}

, toutes les valeurs prises par la fonction

{f}

soient supérieures ou égale à

{M}

. De façon plus concise, cela signifie que la limite de

{f(x)}

, quand

{x}

tend vers

{-\infty}

, vaut

{+\infty}

. Ou encore, de façon encore plus concise :

{\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty}

{\forall\,x\in\mathbb{R},\;\exists\,y\in\mathbb{R},\;y=f(x)}

Réponse

Cette propriété est évidemment vraie pour toute foncion

{f}

, donc ne présente aucun intérêt : elle dit que pour tout réel

{x}

, il existe un réel

{y}

égal à

{f(x)}

(évidemment, ce réel c’est

{f(x)}

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