Quiz (quantification) 2

Voici 10 propositions portant sur l’ensemble {\mathbb{P}} des nombres premiers (les entiers {n\ge2} dont les seuls diviseurs positifs sont {1} et {n}).
Ces propositions sont écrites dans le langage courant, et on demande de les exprimer avec des quantificateurs.


Si un entier premier divise le produit de deux entiers, alors il divise l’un d’entre eux
Réponse
{\forall\,(a,b)\in\mathbb{Z}^2,\;\forall\,p\in\mathbb{P},\;p\mid ab\Rightarrow(p\mid a)\vee(p\mid b)}

Tout entier supérieur ou égal à {2} est divisible par un nombre premier
Réponse
{\forall n\in\llbracket2,+\infty[,\;\exists\, p\in\mathbb{P},\;p\mid n}

L’entier {2} est le seul entier premier pair
Réponse
{\forall p\in\mathbb{P}\setminus\{2\},\;\exists\,n\in\mathbb{N}^*,\;p=2n+1}. Ou encore : {\mathbb{P}\cap\{2n,\;n\in\mathbb{N}\}=\{2\}}

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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.