Points entiers sur une cubique

(Oral Centrale Mp)
On se place dans le plan {\mathbb{P}} euclidien, rapporté à un repère orthonormé. Pour tout {a\in\mathbb{N}^*}, on note {\Gamma_a} la courbe d’équation {x^3+y^3=a}.

Soit {\Gamma_a(\mathbb{Z})} l’ensemble des points de {\Gamma_a} à coordonnées entières.

  1. Indiquer comment les courbes {\Gamma_a} se déduisent les unes des autres.

    Étudier et tracer rapidement la courbe {\Gamma_{1}}.

  2. Dans cette question, {a} est un entier strictement positif fixé.

    Montrer que {(x,y)\in\Gamma_a(\mathbb{Z})} si et seulement s’il existe un diviseur {d} de {a} tel que :{\begin{array}{l}1\le d\le (4a)^{1/3}\text{\ et\ }\\[9pts](S):\begin{cases}y=d-x\\ 3x^2-3dx+d^2-a/d=0\end{cases}\end{array}}En déduire que {\Gamma_a(\mathbb{Z})} est fini.

    Montrer que :{\Gamma_{91}(\mathbb{Z})\!=\!\{(-5,6),\!(3,4),\!(4,3),\!(6,\!-5)\}}

  3. Soit {P_{0}=(x_{0},y_{0})} un point à coordonnées rationnelles de {\Gamma_{7}}.

    Montrer que la tangente en {P_{0}} à {\Gamma_{7}} recoupe cette courbe en un point {P_{1}=(x_{1},y_{1})} à coordonnées rationnelles, distinct de {P_{0}}.

    On vérifiera que :{\begin{cases}x_{1}=\varphi(x_{0})\\y_{1}=\varphi(y_{0})\end{cases}\;\text{où}\;\varphi(t)=t\,\dfrac{14-t^3}{2t^3-7}}En itérant le procédé précédent, on forme donc une suite {P_{n}(x_{n},y_{n})} de points à coordonnées rationnelles sur la courbe {\Gamma_{7}}.
    On admet que les points {P_{n}} sont distincts deux à deux.

    Déduire de ce qui précède que pour tout {m} de {\mathbb{N}^*}, il existe {a} dans {\mathbb{N}^*} tel que la courbe {\Gamma_a} possède au moins {m} points distincts à coordonnées entières.

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