Points entiers sur une cubique

(Oral Centrale Mp)
On se place dans le plan {\mathbb{P}} euclidien, rapporté à un repère orthonormé. Pour tout {a\in\mathbb{N}^*}, on note {\Gamma_a} la courbe d’équation {x^3+y^3=a}.

Soit {\Gamma_a(\mathbb{Z})} l’ensemble des points de {\Gamma_a} à coordonnées entières.

  1. Indiquer comment les courbes {\Gamma_a} se déduisent les unes des autres.

    Étudier et tracer rapidement la courbe {\Gamma_{1}}.

  2. Dans cette question, {a} est un entier strictement positif fixé.

    Montrer que {(x,y)\in\Gamma_a(\mathbb{Z})} si et seulement s’il existe un diviseur {d} de {a} tel que :{\begin{array}{l}1\le d\le (4a)^{1/3}\text{\ et\ }\\[9pts](S):\begin{cases}y=d-x\\ 3x^2-3dx+d^2-a/d=0\end{cases}\end{array}}En déduire que {\Gamma_a(\mathbb{Z})} est fini.

    Montrer que :{\Gamma_{91}(\mathbb{Z})\!=\!\{(-5,6),\!(3,4),\!(4,3),\!(6,\!-5)\}}

  3. Soit {P_{0}=(x_{0},y_{0})} un point à coordonnées rationnelles de {\Gamma_{7}}.

    Montrer que la tangente en {P_{0}} à {\Gamma_{7}} recoupe cette courbe en un point {P_{1}=(x_{1},y_{1})} à coordonnées rationnelles, distinct de {P_{0}}.

    On vérifiera que :{\begin{cases}x_{1}=\varphi(x_{0})\\y_{1}=\varphi(y_{0})\end{cases}\;\text{où}\;\varphi(t)=t\,\dfrac{14-t^3}{2t^3-7}}En itérant le procédé précédent, on forme donc une suite {P_{n}(x_{n},y_{n})} de points à coordonnées rationnelles sur la courbe {\Gamma_{7}}.
    On admet que les points {P_{n}} sont distincts deux à deux.

    Déduire de ce qui précède que pour tout {m} de {\mathbb{N}^*}, il existe {a} dans {\mathbb{N}^*} tel que la courbe {\Gamma_a} possède au moins {m} points distincts à coordonnées entières.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écrans, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).