| Exercice 1. Soit {p} un nombre premier.
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| Exercice 2. Trouver les nombres premiers dont l’écriture en base {b} utilise une fois et une seule tous les chiffres possibles de la base de numération (le {0} est possible en tête). |
| Exercice 3. Montrer que pour {(m,n)\in\mathbb{N}^2}, {N=mn(m^{60}-n^{60})} est divisible par {56786730}. |
| Exercice 4. En factorisant {641-k^{4}} pour {k\in\{1,2\}}, montrer que {F_{5}=2^{32}+1} n’est pas premier. |
| Exercice 5. On note {C=\{5,9,13,17,21,\ldots\}} l’ensemble des {4k+1}, avec {k\in\mathbb{N}}. On dit qu’un entier {n} est irréductible sur {C} s’il ne peut pas s’écrire comme un produit d’éléments de {C} strictement inférieurs à {n}. De combien de façon peut-on écrire {4389} comme un produit d’entiers irréductibles sur {C}? |
| Exercice 6. Soit {(p_{k})_{k\ge1}} la suite strictement croissante des nombres premiers. Pour tous {k,n} de {\mathbb{N}^{*}}, on note {N_{k}(n)} le nombre d’entiers de {\{1,\ldots,n\}} qui ne sont divisibles par aucun {p_{j}} avec {j>k}. Pour tout {n} de {\mathbb{N}^{*}}, on note {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{p_{k}}}. On se propose de montrer que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}S_{n}=+\infty}.
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