Nombres premiers (2/2)

Exercices corrigés

Exercice 1.
Soit

{p}

un nombre premier.

Montrer que si ${1\leq k\lt p}$ , alors ${\dbinom pk}$ est divisible par ${p}$ .
En déduire que : ${\forall (a,b)\in\mathbb{Z}^2,\;(a\!\!+b)^p\equiv a^p\!+\!b^p\pmod p}$
Montrer que pour ${n\in\mathbb{N}}$ , on a ${n^p\equiv n\pmod p}$ (petit théorème de Fermat).
Qu’obtient-on si ${p}$ ne divise pas ${n}$ ?

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Exercice 2.
Trouver les nombres premiers dont l’écriture en base

{b}

utilise une fois et une seule tous les chiffres possibles de la base de numération (le

{0}

est possible en tête).

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Exercice 3.
Montrer que pour

{(m,n)\in\mathbb{N}^2}

{N=mn(m^{60}-n^{60})}

est divisible par

{56786730}

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Exercice 4.
En factorisant

{641-k^{4}}

pour

{k\in\{1,2\}}

, montrer que

{F_{5}=2^{32}+1}

n’est pas premier.

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Exercice 5.
On note

{C=\{5,9,13,17,21,\ldots\}}

l’ensemble des

{4k+1}

, avec

{k\in\mathbb{N}}

.
On dit qu’un entier

{n}

est irréductible sur

{C}

s’il ne peut pas s’écrire comme un produit d’éléments de

{C}

strictement inférieurs à

{n}

. De combien de façon peut-on écrire

{4389}

comme un produit d’entiers irréductibles sur

{C}

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Exercice 6.
Soit

{(p_{k})_{k\ge1}}

la suite strictement croissante des nombres premiers.
Pour tous

{k,n}

{\mathbb{N}^{*}}

, on note

{N_{k}(n)}

le nombre d’entiers de

{\{1,\ldots,n\}}

qui ne sont divisibles par aucun

{p_{j}}

avec

{j>k}

.
Pour tout

{n}

{\mathbb{N}^{*}}

, on note

{S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{p_{k}}}

.
On se propose de montrer que

{\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}S_{n}=+\infty}

Montrer que ${N_{k}(n)\le 2^{k}\sqrt{n}}$ .
On suppose que la suite (croissante) ${n\mapsto S_{n}}$ est convergente, de limite ${\ell>0}$ .
Il existe donc un entier ${k}$ tel que ${\ell-S_{k}\lt \dfrac{1}{2}}$
Utiliser cet entier ${k}$ pour aboutir à une contradiction.

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