Arithmétique
Exercices corrigés d’arithmétique pour Mpsi Pcsi, et Spé Mp, Pc, Psi, posés aux concours Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.)

On écrit une fonction Python renvoyant le dernier chiffre non nul de « factorielle n » (sans calculer n!, bien sûr). Bel exercice d’arithmétique finalement!

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Le théorème chinois

Soit

{n_1,n_2,\ldots,n_r}

dans

{\mathbb{N}^*}

, premiers entre eux deux à deux. Soit

{N=\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{r}n_k}

.
Il existe un unique

x\in[\![0,N-1]\!]

tel que

x\equiv n_j\mod n_j

pour tout

j

.
Ce résultat est communément appelé théorème chinois. L’objet de cet article est de programmer le calcul de

x

en Python (deux méthodes).

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Coefficients de Bézout

Soient

{m,n}

dans

{\mathbb{N}^*}

, avec

{m\wedge n=1}

.
Il existe une infinité de

{(u,v)\in\mathbb{Z}^2}

tel que

{um+vn=1}

.
Il existe en particulier un couple

{(u,v)}

unique tel que

{\left|u\right|\le n/2}

{\left|v\right|\le m/2}

.
L’objet de cet article est de programmer deux méthodes (l’une itérative, l’autre récursive) de calcul des deux entiers

u

v

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Entiers premiers 4m-1

Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme

{4m-1}

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Entiers premiers 4m+1

Montrer qu’il existe une infinité d’entiers premiers de la forme

{4m+1}

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