Pgcd et algorithme d’Euclide (1/2)

Exercices corrigés


Exercice 1.
Trouver les entiers {0\le n\le m} tels que {\begin{cases}\text{pgcd}(m,n)=m-n\\\text{ppcm}\,(m,n)=300\end{cases}}
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Exercice 2.
Résoudre dans {\mathbb{Z}} l’équation {(E):\;2520x-3960y=6480}.
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Exercice 3.
Montrer que {a\land b=1} si et seulement si {(ab)\land (a+b)=1}.
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Exercice 4.
On pose {x=2^m-1} et {y=2^n+1}, avec {m,n} dans {\mathbb{N}^*}. Soit {d=m\wedge n}.

  1. Montrer que si {m/d} est impair, alors {x\wedge y=1}.
  2. Montrer que si {m/d} est pair, alors {x\wedge y=2^d+1}.

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Exercice 5.
Pour tout n\in\mathbb{N}, on note {F_{n}=2^{2^{n}}+1} (nombres de Fermat).
Montrer que les sont premiers entre eux deux à deux.
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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.