Congruences et divisibilité (1/3)

Exercices corrigés


Exercice 1.
Soient {m\lt n} dans \mathbb{N}, et tels que {m^n=n^m}.
Montrer que nécessairement {m=2} et {n=4}.
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Exercice 2.
Soit {n} un carré parfait à quatre chiffres dans {[0,6]}.
Si on leur ajoute {3}, on obtient encore un carré parfait. Trouver {n}.
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Exercice 3.
Soit {A} une partie de {\{1,2,\ldots,2n\}}, avec {\text{card}(A)=n+1}.
Montrer qu’il existe {a,b} distincts dans {A} tels que {a\mid b}.
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Exercice 4.
Résoudre dans {\mathbb{N}} et dans {\mathbb{Z}} l’équation {10x+15y+6z=73}.
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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.