Congruences et divisibilité (3/3)

Exercices corrigés


Exercice 1.
Trouver l’entier minimum {n} se terminant par {6} et tel que si on déplace ce chiffre {6} pour le placer en tête de l’écriture décimale de {n} alors on obtient l’entier {m=4n}.
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Exercice 2.
Calculer le reste dans la division de {2013^{2014}} par {7}.
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Exercice 3.
Calculer le reste dans la division de {N=2013^{2013^{2013}}} par {17}.
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Exercice 4.
Pour {n\ge1}, soit {d(n)} le nombre de diviseurs de {n} dans {\mathbb{N}^*}.
On note également {\delta(n)=\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}d(k)} et {H_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac1k}.
Montrer que {0\le H_n-\delta(n)\lt 1}
En déduire un équivalent de {\delta(n)} quand {n\to+\infty}.
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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.