INP
Exercices corrigés donnés au concours « INP »

Polynômes caractéristique et minimal

(Oral Ccp)
Soit

A

dans

{\mathcal M}_{5}(\mathbb{R})

inversible, telle que

\text{tr}(A)=6

{A^{3}-3A^{2}+2A=0}

. Donner le polynôme caractéristique de

{A}

, et son polynôme annulateur unitaire minimal.

➡️

Transposition et diagonalisation

(Oral Ccp)
Diagonalisabilité et trace de

{\Phi\,\colon M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})\mapsto \varphi(M)=M+2{M}^{\top}}

➡️

Diagonalisation et puissances

(Oral Ccp)
Soit

{M=(m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

où

{\begin{cases}m_{i,j}=1\text{\ si\ }j\in\{1,i,n\}\\m_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}

Diagonaliser

{M}

. Calculer

{M^{p+1}}

pour tout

{p\ge0}

➡️

Diagonalisation et polynômes

(Oral Ccp)
Montrer que

{\Phi\colon P(X)\mapsto X^{n}P(1/X)}

est diagonalisable dans

{\mathbb{R}_{n}[X]}

➡️

Racine carrée matricielle

(Oral Ccp)
Soit

{f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})}

de matrice

{A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&3&-3\\-2&2&-2\end{pmatrix}}

dans la base canonique.
Existe-t-il

{f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})}

telle que

g^2=f

➡️

Réduction d’une matrice symétrique

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{a_{i,i}=4}

{a_{i,j}=1}

{i\ne j}

.
Diagonaliser

A

dans le groupe orthogonal.

➡️

Un endomorphisme symétrique

(Oral Ccp)
On se place dans

{\mathbb{R}_{n}[X]}

, muni de

{\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}PQ}

.
Soit

{\varphi\,\colon P\mapsto(2X\!-\!1)P'\!+\!(X^{2}\!-\!X)P''}

.
Montrer que

{\varphi}

est symétrique.

➡️

Identifier une transformation de ℝ³

(Oral Ccp)
Transformation associée à

{M=\dfrac13\begin{pmatrix}2&2&-1\\-2&1&-2\\-1&2&2\end{pmatrix}}

➡️

Minimum de (f(x)|x)

(Oral Ccp)
Soit

f

un endomorphisme symétrique de

E

euclidien.
On caractérise les vecteurs

x

unitaires qui minimisent

\bigl(f(x)\mid x\bigr)

➡️

Noyau et image de f et f^2

(Oral Ccp)
Avec

f\in\mathcal{L}(E)

, on étudie les égalités

{\text{Ker}(f)=\text{Ker}(f^2)}

{\text{Im}(f)=\text{Im}(f^2)}

➡️

Un sous-espace de matrices

(Oral Ccp)
On identifie le sous-espace

{E=\left\{ M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R}),\;M+M^\top=2\text{tr} (M) I_n\right\}}

➡️

Carré d’une matrice de rang ≤ 1

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

, avec

{\text{rg}(A)\le 1}

.
Montrer que

{A^2=\text{tr}(A)A}

➡️

Base de formes linéaires

(Oral Ccp)
On pose

{f(x,y,z)=2x-y+z}

{g(x,y,z)= y-z}

{h(x,y,z)=-x +4y+2z}

. Montrer que

f,g,h

forment une base de

\mathcal{L}(\mathbb{R}^3,\mathbb{R})

➡️

Une série de fonctions

(Oral Ccp et Mines-Ponts)
On étudie la série de fonction

{S(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{x e^{-nx}}{\ln(n)}}

➡️

Série alternée de fonctions

(Oral Ccp)
Étudier

{S(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n}\text{e}^{-(n+1)x}}

➡️

Limites d’intégrales généralisées

(Oral Ccp)
Existence de

{J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\arctan(t)}{t^{3/2}+t^{n}}\,\text{d}t}

.
Calcul de

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}J_n}

➡️

Une série de fonctions

(Oral Ccp)
Définition et continuité de

{x\mapsto S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{2}}{\text{e}^{-2nx}+\text{e}^{3nx}}}

➡️

Trace et diagonalisation

(Oral Ccp)
Préciser les éléments propres de

{\Phi :M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})\mapsto \text{tr} (M)I_n +M}

➡️

Dérivabilité d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Caractère

\mathcal{C}^1

\mathcal{C}^2

S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln(1+nx^2)}{n^2}

➡️

Racines carrées matricielles

(Oral Ccp)
Déterminer le nombre de matrices

B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{C})

telles que

{B^2=}

{\begin{pmatrix}2&3&1\\0&-4&-2\\4&12&5 \end{pmatrix}}

➡️

Condition de diagonalisabilité

(Oral Ccp)
Soient

f,u,v

dans

{{\mathcal L}(E)}

tels que

{f^k=a^ku+b^kv}

avec

a,b

non nuls, et

0\le k\le 2

.
Montrer que

{f}

est diagonalisable.

➡️

CV uniforme d’une série de fonctions

(Oral Mines-Ponts et Ccp)
Convergence et continuité de

{f(x)=\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}

.
Mêmes questions avec

{g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n\ge1}(-1)^{n}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}

➡️

Une base de polynômes

(Oral Ccp)
Montrer que les

{P_k=X^k(1-X)^{n-k}}

(avec

{0\le k\le n}

) forment une base de

{\mathbb{R}_n[X]}

.
Exprimer

{1,X,\cdots ,X^n}

dans cette base.

➡️

Étude d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Dérivabilité et variations de

{S:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{e^{-nx}}{1+n^2}}

➡️

Série de fonctions, série entière

(Oral Ccp et Centrale)
Soit

{f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin(a^nx)}

, avec

|a|\lt1

.
On montre que

{f}

est

{C^{\infty}}

, puis qu’elle est développable en série entière sur

\mathbb{R}

➡️

Diagonalisation et suite de puissances

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

avec des

{1}

sur les premières et dernières lignes/colonnes, des

{0}

ailleurs.
Préciser

{\text{Sp}(A)}

. Montrer :

{\forall\, k\ge3,\;\exists\,(\lambda_{k},\mu_{k}),\;A^{k}=\lambda_{k}A+\mu_{k}A^{2}}

➡️

Réduction d’une matrice circulante

(Oral Ccp)
Soit

{a=(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n-1})\in\mathbb{C}^{n}}

.
Diagonaliser

{M(a)\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

où

{m_{i,j}=a_{(i-j)\!\!\mod n}}

➡️

Trace et matrices orthogonales

(Oral Ccp)
Si

{\Omega\in O(n)}

{S\in S_{n}(\mathbb{R})}

, avec

{\text{Sp}(S)\subset\mathbb{R}^{+}}

, alors

{\text{tr}(\Omega S)\le\text{tr}(S)}

➡️

Trace et endomorphismes symétriques

(Oral CCInp)
Si

f,g

sont symétriques positifs, alors

{0\le \text{tr}(gf)\le \text{tr}(g)\text{tr}(f)}

➡️

Étude d’une suite implicite

(oral Ccp)
Soit

u_n

l’unique solution positive de

{x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x-1=0}

.
On étudie la limite

\ell

de la suite

(u_n)

, puis un équivalent de

u_n-\ell

➡️

Suite implicite et série

(Oral Ccp)
Soit

u_n

l’unique solution positive de

{x^{n}\!+\!x\sqrt{n}\!-\!1\!=\!0}

.
Étudier

(u_n)

, puis

{\displaystyle\sum u_{n}}

{\displaystyle\sum(-1)^{n}u_{n}}

➡️

DL d’une bijection réciproque

(oral Ccp)
Montrer que

{f\colon x\mapsto x+\ln(1+x)}

est une bijective de

{]-1,+\infty[}

sur

{\mathbb{R}}

.
Montrer que

{g=f^{-1}}

est

{{\mathcal C}^{\infty}}

. Donner son DL en

0

à l’ordre

{3}

➡️

Existence d’un supplémentaire commun

(Oral Centrale & Ccp)
Montrer que deux sous-espaces d’un espace

E

de dimension finie ont la même dimension si et seulement si ils admettent un supplémentaire commun.

➡️

Intégrale et séries numériques

(Oral Ccp)
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t\ln^{2}(t)}{(1-t)^{2}}\text{d}t=2\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{2}}-\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}\Bigr)}

➡️

Étude d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Domaine, continuité, étude aux bornes de

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\text{e}^{-x\sqrt{n}}}

➡️

Interversion série-intégrale

(Oral Ccp et Centrale)
On suppose

{\displaystyle\sum\limits_{n\ge0}|a_{n}|\lt\infty}

. Soit

{f(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}t^{n}}

.
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!f(t)\,\text{e}^{-t}\,\text{d}t=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}

➡️

Série entière et produit de Cauchy

(Oral Ccp)
On définit

{u_{0}=3}

{u_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u_{k}u_{n-k}}

.
Écrire

{f(x)\!=\!\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}}

à l’aide de fonctions usuelles

➡️

Reste d’une série de Riemann

(Oral Ccp)
Encadrement et équivalent de

{R_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{\alpha}}}

➡️

Endomorphisme et dérivation

(Oral Ccp)
Soit

{E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

. Soit

{\Phi\,\colon f\mapsto g}

, avec

{g(x)=f'(x)-xf(x)}

. Étudier les éléments propres de

\Phi

, et déterminer

{\text{Ker}(\Phi^{n})}

➡️

Dérivabilité d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Étudier le domaine et la dérivabilité de

{S\,\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln(1+n^{2}x^{2})}{n^{2}\ln(1+n)}}

➡️

Spectre d’un endomorphisme intégral

(Oral Ccp)
Soit

{E={\mathcal C}([-\pi,\pi ],\mathbb{R})}

.
Éléments propres de

\Phi

définie sur

E

par

{\Phi(f)(x)=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x-t)f(t)\,\text{d}t}

➡️

Image et noyaux imposés

(Oral Ccp)
Soient

{F,G}

deux sous-espaces d’un espace vectoriel

{E}

de dimension finie.
Condition pour que :

{\exists\, f\in \mathcal L(E),\; \text{Im} (f)=F,\;\text{Ker} (f)=G}

➡️

Recherche de sous-espaces stables

(Oral Ccp)
Soit

{u\in\mathcal{L}(\R^3)}

canoniquement relié à

{\begin{pmatrix}3&1&2\\1&1&0\\-1&1&2\end{pmatrix}}

Décrire les sous-espaces stables par

{u}

➡️

Réduction endomorphisme matriciel

(Oral Ccp)
Soit

{\varphi\colon{\mathcal M}_{2}(\mathbb{K})\rightarrow{\mathcal M}_{2}(\mathbb{K}),\;\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} d&a\\ b&c\end{pmatrix}}

.
L’endomorphisme

{\varphi}

est-il diagonalisable ?

➡️

Matrices stochastiques, valeurs propres

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

, à coefficients dans

{\mathbb{R}^{+*}}

, la somme de chaque ligne valant

{1}

.
Montrer que

{\forall\, \lambda\in\text{Sp}(A),\;\left|\lambda\right|\le1}

, avec

{\left|\lambda\right|=1\Leftrightarrow \lambda=1}

➡️

Une série de fonctions

(Oral Centrale, Mines-Ponts, et Ccp)
Domaine de

{S(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\ln(1+e^{-nt})}

, variations, et limite en

{+\infty}

➡️

Produit scalaire et déterminant

(Oral Ccp)
Soit

{A\in\text{GL}_{n}(\mathbb{R})}

. Montrer que :

{\forall x\in\mathbb{R},\;1 +\left(x \mid A^{-1}x\right) =\dfrac{\det(x\,{x}^{\top}+A)}{\det(A)}}

➡️

Étude d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Pour

n\in\mathbb{N}

x\ge0

, on pose

{f_{n}(x) =\dfrac{x^{n}}{1+x^{2n}}}

.
Continuité de

{S=\displaystyle\sum f_n}

, limites en

1

et en

+\infty

➡️

Somme de lois de Poisson

(Oral Ccp)
Soient les v.a.r. indépendantes

{\begin{cases}X\leadsto {\mathcal P}(\lambda)\\Y \leadsto{\mathcal P}(\mu)\end{cases}}

Donner la loi de

{Z = X + Y}

.
Donner celle de

{X}

sachant

{(Z = n)}

➡️

Tirages dans une urne

(Oral Ccp)
Dans une urne de

{n\!-\!1}

boules noires et une blanche, on effectue des tirages successifs (avec ou sans remise).
On demande la loi du rang

T

d’apparition de la boule blanche, son espérance et sa variance.

➡️