Exercices corrigés
| Exercice 1. Soit {f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}, de classe {{\mathcal C}^n}. On suppose que {f} est {n+1} fois dérivable sur {[a,b]}. Montrer qu’il existe {c\in\,]a,b[} tel qu’on ait l’égalité de Taylor-Lagrange :{\begin{array}{rl}f(b)&=f(a)+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(b-a)^{k}}{k!}f^{(k)}(a)\\\\&\quad+\dfrac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(c)\end{array}} |
| Exercice 2. Soit {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, de classe {{\mathcal C}^2} et telle que: {\forall\, x\in\mathbb{R},\;\begin{cases}|f(x)|\le M_0\\\|f''(x)|\le M_2\end{cases}} Montrer que pour tout {x}, {|f'(x)|\le M_1} où {M_1=\sqrt{2M_0M_2}}. |
| Exercice 3. Calculer la limite suivante : {\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\,\sum_{p=1}^n\sin\dfrac{p}{n^2}}. |
| Exercice 4. Soit {f}, de classe {{\mathcal C}^2} au voisinage de {a}, avec {f''(a)\ne0}. Les accroissements finis donnent {f(a+h)=f(a)+hf\,'(a+\,\theta_h h)}. Montrer que {\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\,\theta_h=\frac12}. |
| Exercice 5. Soit {f} une fonction de classe {{\mathcal C}^2} sur un voisinage de {a}. Montrer que : {\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)+f(a-h)-2f(a)}{h^2}=f''(a)} |
| Exercice 6. Soit {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, de classe {{\mathcal C}^{\infty}}, telle que {\forall\, n\in\mathbb{N}, f^{(n)}(0)=0}. On suppose : {\exists\,\lambda>0,\;\forall\, x\in\mathbb{R},\;\forall\, n\in\mathbb{N},\; \left|{f^{(n)}(x)}\right|\le n!\lambda^n}. Montrer que {f} est identiquement nulle sur {\mathbb{R}}. |