Fonctions convexes (2/2)

Exercices corrigés


Exercice 1.
Montrer que si {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} est convexe majorée, elle est constante.
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Exercice 2.
Soit {p,q} dans {\mathbb{R}^{+*}} avec {\dfrac1p+\dfrac1q=1}. Montrer : {\forall\, a,b\in\mathbb{R}^{+*},\;\dfrac{a^p}p+\dfrac{b^q}q\ge ab}.
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Exercice 3.
Pour tous {x,y} de {]1,+\infty[}, montrer que {\ln\Bigl(\dfrac{x+y}2\Bigr)\ge\sqrt{\ln x\ln y }}.
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Exercice 4.
Soit {f:[0,+\infty[\rightarrow\mathbb{R}} une fonction majorée de classe {{\mathcal C}^2}.
On suppose : {\exists\, a>0,\;\forall\, x\ge0,\;f''(x)\ge af(x)\ge0}.

  1. Montrer que {f} est décroissante.
  2. Quelle est la limite de {f'} en {+\infty}?
  3. Montrer que {\displaystyle\lim_{+\infty}f(x)=0}.
  4. Montrer que {\forall\, x\ge0,\; f(x)\le f(0)\,\text{e}^{-x\sqrt a}}.

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Exercice 5.
Soit {f} une fonction dérivable de {]0,1[} dans {\mathbb{R}}.
On suppose que pour tout {x} de {]0,1[}, {|f'(x)|\le M}.
Montrer que {f} est prolongeable par continuité en {0} et en {1}.
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