Exercices corrigés
| Exercice 1. Soit {f\colon[a,b]\to\mathbb{R}}, trois fois dérivable. Montrer qu’il existe c\in\,]a,b[ tel que : {\begin{array}{rl}f(b)&=f(a)+\dfrac{b-a}2\left[f'(a)+f'(b)\right]\\\\&\quad-\dfrac{(b-a)^3}{12}f^{(3)}(c)\end{array}} |
| Exercice 2. Soit {f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}, dérivable, telle que {f'(a)=f'(b)}. Montrer : {\exists\, c\in ]a,b],\;f'(c)=\dfrac{f(c)-f(a)}{c-a}}. |
| Exercice 3. Soit {f\colon[0,2]\to\mathbb{R}} de classe {{\mathcal C}^3}, telle que {f(0)=f(1)=f(2)=0}. Montrer que : {\begin{array}{l}\forall x\in[0,2],\;\exists\,c\in\,]0,2[,\\\\f(x)=\dfrac{x(x-1)(x-2)}6f^{(3)}(c)\end{array}} |
| Exercice 4. Soit {f:[a,+\infty[\rightarrow\mathbb{R}} continue, dérivable sur {]a,+\infty[}. On suppose {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=f(a)}. Montrer qu’il existe {c>a} tel que {f'(c)=0}. |
| Exercice 5. Soient {f,g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}} deux fonctions continues, dérivables sur {]a,b[}.
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