Une équation fonctionnelle

On se propose de déterminer les fonctions {f :\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}}, continues sur {\mathbb{R}^+}, de classe {{\mathcal C}^1} sur {\mathbb{R}^{+*}}, et qui vérifient l’équation fonctionnelle : {\forall\, x\ge 0,\; f(x^2)=f(x)^2}Dans toute la suite, on suppose que {f} est une solution du problème.

Question 1.(a)
Montrer que {f(x)\ge0} pour tout {x} de {\mathbb{R}^+}.
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Question 1.(b)
À quelle condition {f} peut-elle être constante?
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Soit {a} un élément de {]0,1[}.

On pose {u_n=f(a^{2^n})}, pour tout {n} de {\mathbb{N}}.

Question 2.(a)
Montrer que {(u_n)} converge et préciser sa limite.
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Question 2.(b)
Montrer que {f(a)\le 1}.
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Question 2.(c)
Montrer que si {f(a)=1}, alors {f} est constante sur {[0,1]}.
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Question 2.(d)
Que dire de {f(a)} si {f} n’est pas constante sur {[0,1]} ? Que vaut alors {f(0)} ?}
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Soit {a} un élément de {\mathbb{R}^{+*}}.

On pose {v_n=f(a^{2^{-n}})}, pour tout {n} de {\mathbb{N}}.

Question 3.(a)
Montrer que la suite {(v_n)} est convergente et préciser sa limite.
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Question 3.(b)
Montrer que si {f(a)=0}, alors {f} est constante sur {\mathbb{R}^+}.
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Question 3.(c)
On suppose que {f} n’est pas constante. Que vaut {f(1)} ?}
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Dans cette question, on suppose que la fonction {f} n’est pas constante.

Question 4.(a)
Montrer que {f} ne s’annule pas sur {\mathbb{R}^{+*}}.
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Question 4.(b)
On pose : {\forall\, x>0,\; g(x)=\dfrac{xf'(x)}{f(x)}}.
Exprimer {g(x^2)} en fonction de {g(x)}.
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Question 4.(c)
Montrer que {g} est constante.
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Question 4.(d)
En déduire toutes les solutions du problème initial.
Parmi ces solutions, quelles sont celles qui sont dérivables à droite en {0}?
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