Une équation fonctionnelle

On se propose de déterminer les fonctions {f :\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}}, continues sur {\mathbb{R}^+}, de classe {{\mathcal C}^1} sur {\mathbb{R}^{+*}}, et qui vérifient l’équation fonctionnelle : {\forall\, x\ge 0,\; f(x^2)=f(x)^2}Dans toute la suite, on suppose que {f} est une solution du problème.

Question 1.(a) Montrer que {f(x)\ge0} pour tout {x} de {\mathbb{R}^+}.

Question 1.(b) À quelle condition {f} peut-elle être constante?

Soit {a} un élément de {]0,1[}.

On pose {u_n=f(a^{2^n})}, pour tout {n} de {\mathbb{N}}.

Question 2.(a) Montrer que {(u_n)} converge et préciser sa limite.

Question 2.(b) Montrer que {f(a)\le 1}.

Question 2.(c) Montrer que si {f(a)=1}, alors {f} est constante sur {[0,1]}.

Question 2.(d) Que dire de {f(a)} si {f} n’est pas constante sur {[0,1]} ? Que vaut alors {f(0)} ?}

Soit {a} un élément de {\mathbb{R}^{+*}}.

On pose {v_n=f(a^{2^{-n}})}, pour tout {n} de {\mathbb{N}}.

Question 3.(a) Montrer que la suite {(v_n)} est convergente et préciser sa limite.

Question 3.(b) Montrer que si {f(a)=0}, alors {f} est constante sur {\mathbb{R}^+}.

Question 3.(c) On suppose que {f} n’est pas constante. Que vaut {f(1)} ?}

Dans cette question, on suppose que la fonction {f} n’est pas constante.

Question 4.(a) Montrer que {f} ne s’annule pas sur {\mathbb{R}^{+*}}.

Question 4.(b) On pose : {\forall\, x>0,\; g(x)=\dfrac{xf'(x)}{f(x)}}. Exprimer {g(x^2)} en fonction de {g(x)}.

Question 4.(c) Montrer que {g} est constante.

Question 4.(d) En déduire toutes les solutions du problème initial. Parmi ces solutions, quelles sont celles qui sont dérivables à droite en {0}?