Exercices corrigés
| Exercice 1. Montrer que : {\forall\lambda\in\mathbb{R},\;\forall x\in[-1,1],\;\text{e}^{\lambda x}\le\,\text{ch}\lambda+x\,\text{sh}\lambda}. |
| Exercice 2. Soit {f:I\rightarrow\mathbb{R}}, continue, telle que : {\forall\,(x,y)\in I^2,f\Bigl(\dfrac{x+y}2\Bigr)\le\dfrac{f(x)+f(y)}{2}}Montrer que {f} est convexe. |
| Exercice 3. Soit {f:I\rightarrow J} convexe et strictement monotone. Étudier la convexité de {f^{-1}:J\rightarrow I}. |
| Exercice 4. Soient {f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} convexes, avec {g} croissante. Montrer que la fonction {h=g\circ f} est convexe. |
| Exercice 5. Soit {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{+*}}. Montrer que si {\ln(f)} convexe alors {f} est convexe. La réciproque de cette propriété est-elle vraie? |
| Exercice 6. Soient {f,g:I\rightarrow\mathbb{R}} convexes. Les fonctions {\sup(f,g)} et {\inf(f,g)} sont-elles convexes? |