Utilisation du théorème de Rolle (1/2)

Exercices corrigés


Exercice 1.
Trouver {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, dérivable, telle que {\begin{cases}f(1)=1,\;f'(0)>0\\\forall\, x\in\mathbb{R}, f'(x)\, f'(f(x))=1\end{cases}}
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Exercice 2.
Soit {f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}, deux fois dérivable, telle que {\begin{cases}f(a)=f'(a)\\ f(b)=f'(b)\end{cases}}
Montrer qu’il existe un élément {c\in\,]a,b[} tel que {f(c)=f''(c)}.
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Exercice 3.
Montrer que la dérivée d’ordre {n} de {(X^2-1)^n} est un polynôme de degré {n} dont toutes les racines sont distinctes et strictement comprises entre {-1} et {1}.
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Exercice 4.
Soit {P} un polynôme à coefficients réels. Montrer que si toutes les racines de {P} sont réelles, il en est de même des racines de {P'}.
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Exercice 5.
Soit {f:[a,b]\to\mathbb{R}} continue sur {[a,b]}.
On la suppose deux fois dérivable sur {]a,b[}.
Montrer que, pour tout x\in [a,b], il existe c\in\,]a,b[ tel que :{\begin{array}{rl}f(x)&=f(a)+\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\,(x-a)\\\\&\quad+\dfrac{(x-a)(x-b)}2f''(c)\end{array}}
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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.