Exercices corrigés
| Exercice 1. Appliquer la formule des accroissements finis à {f(x)=ax^2+bx+c} entre {x_0} et {x_0+h}. Que remarque-t-on ? Interprétation géométrique ? |
| Exercice 2. Appliquer la formule des accroissements finis à {f(x)=\arctan x} entre {0} et {h}. Montrer qu’il existe un unique {\,\theta} tel que {f(h)=hf'(\,\theta h)}. Calculer {\,\theta} et {\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\,\theta}. |
| Exercice 3. Soit {f:[a,+\infty[\rightarrow\mathbb{R}}, dérivable, telle que {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=\ell\in\mathbb{R}}. Montrer que {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\ell}. |
| Exercice 4. Soit {f} deux fois dérivable sur {[x_0,x_0+2h]}. Montrer qu’il existe {\,\theta} dans {]0,1[} tel que : {\begin{array}{l}f(x_0+2h)-2f(x_0+h)+f(x_0)\\\\\quad=h^2f''(x_0+2\,\theta h)\end{array}} |
| Exercice 5. Soit {g\colon[0,1]\to\mathbb{R}} impaire et cinq fois dérivable. Montrer qu’il existe {c\in\,]0,1[} tel que : {g(1)=\dfrac13(g'(1)+2g'(0))-\dfrac1{180}g^{(5)}(c)} |