Fonction dérivée

Exercices corrigés


Exercice 1.
Soit {r} un réel quelconque.
On définit une fonction {f} par : {\begin{cases}f(0)=0,\;f(-1)=0\\\forall\,x\notin\{-1,0\},\;f(x)=x\Bigl|1+\dfrac1x\Bigr|^{\;r}\end{cases}}Étudier la continuité de {f}, l’existence et la continuité de {f'}.
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Exercice 2.
Si {f} est dérivable en {a}, calculer {\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f^2(a+3h)-f^2(a-h)}h}
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Exercice 3.
Étudier la fonction {f} qui à {x} associe :{\arctan\dfrac x{x\!+\!1}\!+\!\arctan\dfrac{x}{x\!-\!1}\!-\!\arctan\dfrac1{2x^2}}
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Exercice 4.
Préciser le nombre de solutions dans {\mathbb{R}} de l’équation : {1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}=0}
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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.