Décompositions en éléments simples (2/3)
Exercices sur le thème « Décompositions en éléments simples » (2/2)
Polynômes
Décompositions en éléments simples (1/3)
Exercices sur le thème « Décompositions en éléments simples » (1/2)
Relations coefficients-racines (3/3)
Exercices sur le thème « Polynômes: relations coefficients-racines » (3/3)
Relations coefficients-racines (2/3)
Exercices sur le thème « Polynômes: relations coefficients-racines » (2/3)
Relations coefficients-racines (1/3)
Exercices sur le thème « Polynômes: relations coefficients-racines » (1/3)
Arithmétique des polynômes (2/2)
Exercices sur le thème « Arithmétique des polynômes » (2/2).
Arithmétique des polynômes (1/2)
Exercices sur le thème « Arithmétique des polynômes » (1/2).
Dérivation des polynômes (2/2)
Exercices sur le thème « Dérivation des polynômes » (2/2).
Dérivation des polynômes (1/2)
Exercices sur le thème « Dérivation des polynômes » (1/2).
Polynômes: divisibilité, racines (2/2)
Exercices sur le thème « Polynômes: divisibilité et racines » (2/2).
Polynômes: divisibilité, racines (1/2)
Exercices sur le thème « Polynômes: divisibilité et racines » (1/2).
Polynômes: développer, factoriser
Exercices sur le thème « Polynômes: développer, factoriser »
Signe des racines d’un trinôme
Existence et signe des racines réelles de trinômes à paramètre.
Forme linéaire et produit scalaire
On munit {E=\mathbb{R}[X]} du produit scalaire {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
Existe-t-il {A\in E} tel que : {\forall\, P\in E,\;P(0)=\,\left({A}\mid{P}\right)}?
Même question avec E=\mathbb{R}_n[X]. Que dire sur A?
Existe-t-il {A\in E} tel que : {\forall\, P\in E,\;P(0)=\,\left({A}\mid{P}\right)}?
Même question avec E=\mathbb{R}_n[X]. Que dire sur A?
Procédé de Gram-Schmidt
On munit {\mathbb{R}_4[X]} de {\left({A}\mid{B}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}.
Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la base canonique {1,X,X^{2},X^{3},X^{4}}.
Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la base canonique {1,X,X^{2},X^{3},X^{4}}.
Une base orthonormale de ℝ[X]
Dans {\mathbb{R}[X]}, on pose {\left({A}\mid{B}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}, {\;U_{n}(X)=(X^{2}-X)^{n}\;} et {\;P_{n}=U_{n}^{(n)}}.
1. Montrer que {(P_{n})_{n\ge0}} est une famille orthogonale. Calculer \|P_n\|.
2. Former une base orthonormale de {\mathbb{R}_{4}[X]}.
1. Montrer que {(P_{n})_{n\ge0}} est une famille orthogonale. Calculer \|P_n\|.
2. Former une base orthonormale de {\mathbb{R}_{4}[X]}.
Commutant d’un endo scindé simple
Soit {u\in\mathcal{L}(E)} (où {\dim(E)=n\ge1}) ayant {n} valeurs propres distinctes.
Soit {v\in\mathcal{L}(E)}. Montrer {uv=vu} si et seulement si {v} s’écrit {\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}u^{k}}.
Soit {v\in\mathcal{L}(E)}. Montrer {uv=vu} si et seulement si {v} s’écrit {\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}u^{k}}.
Réduction endomorphisme de Kn[X]
Pour tout polynôme P, on note \varphi(P) le polynôme X(X-1)P'-nXP.
Montrer que {\varphi\in\mathcal{L}(\mathbb{K}_n[X])}, et en donner les éléments propres.
Montrer que {\varphi\in\mathcal{L}(\mathbb{K}_n[X])}, et en donner les éléments propres.
Pas de polynôme annulateur non nul
Montrer le seul polynôme annulateur de u,v,w (éléments de \mathcal{L}(\mathbb{K}[X]) est 0 :
{u(P)=P',\;v(P)=XP(X),\;w(P)=P(X\!+\!1)}
{u(P)=P',\;v(P)=XP(X),\;w(P)=P(X\!+\!1)}
Un polynôme scindé simple
(oral Ccp)
Montrer que {P_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{X^{k}}{k!}} n’a que des racines simples.
Montrer que {P_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{X^{k}}{k!}} n’a que des racines simples.