Polynômes et divisibilité
(oral Ccp)
Trouver les polynômes {A} tels que {(X\!-\!1)^{4}\mid A\!+\!1} et {(X\!+\!1)^{4}\mid A\!-\!1}
Trouver les polynômes {A} tels que {(X\!-\!1)^{4}\mid A\!+\!1} et {(X\!+\!1)^{4}\mid A\!-\!1}
Polynômes
Un système linéaire
(oral Ccp)
Résoudre {\begin{cases} x+y+z=1\\\alpha x+\beta y+\gamma z=1\\\alpha^{2}x +\beta^{2}y +\gamma^{2}z =1\end{cases}\!\!\!}où {\alpha, \beta,\gamma} sont les racines de {X^{3}+X+1}
Résoudre {\begin{cases} x+y+z=1\\\alpha x+\beta y+\gamma z=1\\\alpha^{2}x +\beta^{2}y +\gamma^{2}z =1\end{cases}\!\!\!}où {\alpha, \beta,\gamma} sont les racines de {X^{3}+X+1}
Une base de Cn[X]
(Oral Mines-Ponts)
Soient {(z_{j})_{0\leq j\leq n}} des nombres complexes distincts.
Montrer que la famille {((X-z_{j})^{n})_{0\leq j\leq n}} est une base de {\mathbb{C}_{n}[X]}
Soient {(z_{j})_{0\leq j\leq n}} des nombres complexes distincts.
Montrer que la famille {((X-z_{j})^{n})_{0\leq j\leq n}} est une base de {\mathbb{C}_{n}[X]}
Racines du polynôme dérivé
Déterminant et racines d’un polynôme
(Oral Ccp)
On calcule un déterminant d’ordre n dont les coefficients diagonaux sont fonctions des racines (toutes distinctes) du polynôme {P_{n}=X^{n}-X+1}.
On calcule un déterminant d’ordre n dont les coefficients diagonaux sont fonctions des racines (toutes distinctes) du polynôme {P_{n}=X^{n}-X+1}.
Polynômes caractéristique et minimal
(Oral Ccp)
Soit A dans {\mathcal M}_{5}(\mathbb{R}) inversible, telle que \text{tr}(A)=6 et {A^{3}-3A^{2}+2A=0}. Donner le polynôme caractéristique de {A}, et son polynôme annulateur unitaire minimal.
Soit A dans {\mathcal M}_{5}(\mathbb{R}) inversible, telle que \text{tr}(A)=6 et {A^{3}-3A^{2}+2A=0}. Donner le polynôme caractéristique de {A}, et son polynôme annulateur unitaire minimal.
Diagonalisation et puissances
(Oral Ccp)
Soit {M=(m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} où {\begin{cases}m_{i,j}=1\text{\ si\ }j\in\{1,i,n\}\\m_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}
Diagonaliser {M}. Calculer {M^{p+1}} pour tout {p\ge0}.
Soit {M=(m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} où {\begin{cases}m_{i,j}=1\text{\ si\ }j\in\{1,i,n\}\\m_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}
Diagonaliser {M}. Calculer {M^{p+1}} pour tout {p\ge0}.
Majoration de valeurs propres
(Oral Centrale)
Soit {M\!\in\! \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} de pol. caractéristique {\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}}
Montrer que : {\forall \lambda \in \text{Sp}(M),\;|\lambda |\leq\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}|a_{k}|}.
Soit {M\!\in\! \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} de pol. caractéristique {\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}}
Montrer que : {\forall \lambda \in \text{Sp}(M),\;|\lambda |\leq\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}|a_{k}|}.
Diagonalisation et polynômes
(Oral Ccp)
Montrer que {\Phi\colon P(X)\mapsto X^{n}P(1/X)} est diagonalisable dans {\mathbb{R}_{n}[X]}
Montrer que {\Phi\colon P(X)\mapsto X^{n}P(1/X)} est diagonalisable dans {\mathbb{R}_{n}[X]}
Un endomorphisme symétrique
(Oral Ccp)
On se place dans {\mathbb{R}_{n}[X]}, muni de {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}PQ}.
Soit {\varphi\,\colon P\mapsto(2X\!-\!1)P'\!+\!(X^{2}\!-\!X)P''}.
Montrer que {\varphi} est symétrique.
On se place dans {\mathbb{R}_{n}[X]}, muni de {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}PQ}.
Soit {\varphi\,\colon P\mapsto(2X\!-\!1)P'\!+\!(X^{2}\!-\!X)P''}.
Montrer que {\varphi} est symétrique.
Équation différentielle de Legendre
(Oral X-Cachan Psi)
On note {U_{n}=(X^{2}-1)^{n}} et {P_{n}=U_n^{(n)}}.
1. Montrer que {P_{n}} vérifie {(E):(1\!-\!x^{2})y''\!-\!2xy'\!+\!n(n\!+\!1) y\!=\!0}.
2. Donner les solutions {\mathcal{C}^{2}} de {(E)} sur {[-1,1]}.
3. Montrer que les P_n sont orthogonaux pour {(P\mid Q)=\displaystyle\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
On note {U_{n}=(X^{2}-1)^{n}} et {P_{n}=U_n^{(n)}}.
1. Montrer que {P_{n}} vérifie {(E):(1\!-\!x^{2})y''\!-\!2xy'\!+\!n(n\!+\!1) y\!=\!0}.
2. Donner les solutions {\mathcal{C}^{2}} de {(E)} sur {[-1,1]}.
3. Montrer que les P_n sont orthogonaux pour {(P\mid Q)=\displaystyle\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
Un endomorphisme symétrique de ℝn[X]
On munit {\mathbb{R}_{n}[X]} de {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{2}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
Étudier l’endomorphisme {P\mapsto u(P)=X(1-X)P''+(3-4X)P'}.
Étudier l’endomorphisme {P\mapsto u(P)=X(1-X)P''+(3-4X)P'}.
Un endomorphisme de polynômes
(Oral Centrale)
Étude de l’endomorphisme de {\mathbb{R}_n[X]} défini par {f(P)\!=\!(X\!-\!a)(X\!-\!b)P^{\prime}\!-\!nXP}
Étude de l’endomorphisme de {\mathbb{R}_n[X]} défini par {f(P)\!=\!(X\!-\!a)(X\!-\!b)P^{\prime}\!-\!nXP}
Racines d’un polynôme
Une base de polynômes
(Oral Ccp)
Montrer que les {P_k=X^k(1-X)^{n-k}} (avec {0\le k\le n}) forment une base de {\mathbb{R}_n[X]}.
Exprimer {1,X,\cdots ,X^n} dans cette base.
Montrer que les {P_k=X^k(1-X)^{n-k}} (avec {0\le k\le n}) forment une base de {\mathbb{R}_n[X]}.
Exprimer {1,X,\cdots ,X^n} dans cette base.
Équivalents et polynômes
(oral Mines-Ponts)
Soit {P \in\mathbb{R} [X]}. Trouver un équivalent de {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}P(k)} quand {n\to+\infty}.
Soit {P \in\mathbb{R} [X]}. Trouver un équivalent de {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}P(k)} quand {n\to+\infty}.
Déterminant et Chebyshev
Polynômes tels que P(X)=P(1-X)
Puissances d’une matrice
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A=\small\begin{pmatrix}0 & a & a^{2}\\ 1/a & 0 & a \\ 1/a^{2}& 1/a & 0\end{pmatrix}}. Calculer {A^{n}} pour {n\in\mathbb{N}}.
Soit {A=\small\begin{pmatrix}0 & a & a^{2}\\ 1/a & 0 & a \\ 1/a^{2}& 1/a & 0\end{pmatrix}}. Calculer {A^{n}} pour {n\in\mathbb{N}}.
Suite convergente de polynômes
(Oral Mines-Ponts)
Soit {(P_{n})_{n\ge 0}} une suite de {\mathbb{R}_{m}[X]}, avec {m \ge 2}, simplement convergente vers {f}. Montrer que {f} est polynomiale et que la convergence est uniforme sur tout segment.
Soit {(P_{n})_{n\ge 0}} une suite de {\mathbb{R}_{m}[X]}, avec {m \ge 2}, simplement convergente vers {f}. Montrer que {f} est polynomiale et que la convergence est uniforme sur tout segment.