Polynômes: divisibilité, racines (1/2)
Exercices sur le thème « Polynômes: divisibilité et racines » (1/2).
Polynômes
Polynômes: développer, factoriser
Exercices sur le thème « Polynômes: développer, factoriser »
Signe des racines d’un trinôme
Existence et signe des racines réelles de trinômes à paramètre.
Forme linéaire et produit scalaire
On munit {E=\mathbb{R}[X]} du produit scalaire {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
Existe-t-il {A\in E} tel que : {\forall\, P\in E,\;P(0)=\,\left({A}\mid{P}\right)}?
Même question avec E=\mathbb{R}_n[X]. Que dire sur A?
Existe-t-il {A\in E} tel que : {\forall\, P\in E,\;P(0)=\,\left({A}\mid{P}\right)}?
Même question avec E=\mathbb{R}_n[X]. Que dire sur A?
Procédé de Gram-Schmidt
On munit {\mathbb{R}_4[X]} de {\left({A}\mid{B}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}.
Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la base canonique {1,X,X^{2},X^{3},X^{4}}.
Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la base canonique {1,X,X^{2},X^{3},X^{4}}.
Une base orthonormale de ℝ[X]
Dans {\mathbb{R}[X]}, on pose {\left({A}\mid{B}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}, {\;U_{n}(X)=(X^{2}-X)^{n}\;} et {\;P_{n}=U_{n}^{(n)}}.
1. Montrer que {(P_{n})_{n\ge0}} est une famille orthogonale. Calculer \|P_n\|.
2. Former une base orthonormale de {\mathbb{R}_{4}[X]}.
1. Montrer que {(P_{n})_{n\ge0}} est une famille orthogonale. Calculer \|P_n\|.
2. Former une base orthonormale de {\mathbb{R}_{4}[X]}.
Commutant d’un endo scindé simple
Soit {u\in\mathcal{L}(E)} (où {\dim(E)=n\ge1}) ayant {n} valeurs propres distinctes.
Soit {v\in\mathcal{L}(E)}. Montrer {uv=vu} si et seulement si {v} s’écrit {\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}u^{k}}.
Soit {v\in\mathcal{L}(E)}. Montrer {uv=vu} si et seulement si {v} s’écrit {\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}u^{k}}.
Réduction endomorphisme de Kn[X]
Pour tout polynôme P, on note \varphi(P) le polynôme X(X-1)P'-nXP.
Montrer que {\varphi\in\mathcal{L}(\mathbb{K}_n[X])}, et en donner les éléments propres.
Montrer que {\varphi\in\mathcal{L}(\mathbb{K}_n[X])}, et en donner les éléments propres.
Pas de polynôme annulateur non nul
Montrer le seul polynôme annulateur de u,v,w (éléments de \mathcal{L}(\mathbb{K}[X]) est 0 :
{u(P)=P',\;v(P)=XP(X),\;w(P)=P(X\!+\!1)}
{u(P)=P',\;v(P)=XP(X),\;w(P)=P(X\!+\!1)}
Un polynôme scindé simple
(oral Ccp)
Montrer que {P_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{X^{k}}{k!}} n’a que des racines simples.
Montrer que {P_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{X^{k}}{k!}} n’a que des racines simples.
Polynômes et divisibilité
(oral Ccp)
Trouver les polynômes {A} tels que {(X\!-\!1)^{4}\mid A\!+\!1} et {(X\!+\!1)^{4}\mid A\!-\!1}
Trouver les polynômes {A} tels que {(X\!-\!1)^{4}\mid A\!+\!1} et {(X\!+\!1)^{4}\mid A\!-\!1}
Un système linéaire
(oral Ccp)
Résoudre {\begin{cases} x+y+z=1\\\alpha x+\beta y+\gamma z=1\\\alpha^{2}x +\beta^{2}y +\gamma^{2}z =1\end{cases}\!\!\!}où {\alpha, \beta,\gamma} sont les racines de {X^{3}+X+1}
Résoudre {\begin{cases} x+y+z=1\\\alpha x+\beta y+\gamma z=1\\\alpha^{2}x +\beta^{2}y +\gamma^{2}z =1\end{cases}\!\!\!}où {\alpha, \beta,\gamma} sont les racines de {X^{3}+X+1}
Une base de Cn[X]
(Oral Mines-Ponts)
Soient {(z_{j})_{0\leq j\leq n}} des nombres complexes distincts.
Montrer que la famille {((X-z_{j})^{n})_{0\leq j\leq n}} est une base de {\mathbb{C}_{n}[X]}
Soient {(z_{j})_{0\leq j\leq n}} des nombres complexes distincts.
Montrer que la famille {((X-z_{j})^{n})_{0\leq j\leq n}} est une base de {\mathbb{C}_{n}[X]}
Racines du polynôme dérivé
Déterminant et racines d’un polynôme
(Oral Ccp)
On calcule un déterminant d’ordre n dont les coefficients diagonaux sont fonctions des racines (toutes distinctes) du polynôme {P_{n}=X^{n}-X+1}.
On calcule un déterminant d’ordre n dont les coefficients diagonaux sont fonctions des racines (toutes distinctes) du polynôme {P_{n}=X^{n}-X+1}.
Polynômes caractéristique et minimal
(Oral Ccp)
Soit A dans {\mathcal M}_{5}(\mathbb{R}) inversible, telle que \text{tr}(A)=6 et {A^{3}-3A^{2}+2A=0}. Donner le polynôme caractéristique de {A}, et son polynôme annulateur unitaire minimal.
Soit A dans {\mathcal M}_{5}(\mathbb{R}) inversible, telle que \text{tr}(A)=6 et {A^{3}-3A^{2}+2A=0}. Donner le polynôme caractéristique de {A}, et son polynôme annulateur unitaire minimal.
Diagonalisation et puissances
(Oral Ccp)
Soit {M=(m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} où {\begin{cases}m_{i,j}=1\text{\ si\ }j\in\{1,i,n\}\\m_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}
Diagonaliser {M}. Calculer {M^{p+1}} pour tout {p\ge0}.
Soit {M=(m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} où {\begin{cases}m_{i,j}=1\text{\ si\ }j\in\{1,i,n\}\\m_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}
Diagonaliser {M}. Calculer {M^{p+1}} pour tout {p\ge0}.
Majoration de valeurs propres
(Oral Centrale)
Soit {M\!\in\! \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} de pol. caractéristique {\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}}
Montrer que : {\forall \lambda \in \text{Sp}(M),\;|\lambda |\leq\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}|a_{k}|}.
Soit {M\!\in\! \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} de pol. caractéristique {\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}}
Montrer que : {\forall \lambda \in \text{Sp}(M),\;|\lambda |\leq\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}|a_{k}|}.
Diagonalisation et polynômes
(Oral Ccp)
Montrer que {\Phi\colon P(X)\mapsto X^{n}P(1/X)} est diagonalisable dans {\mathbb{R}_{n}[X]}
Montrer que {\Phi\colon P(X)\mapsto X^{n}P(1/X)} est diagonalisable dans {\mathbb{R}_{n}[X]}
Un endomorphisme symétrique
(Oral Ccp)
On se place dans {\mathbb{R}_{n}[X]}, muni de {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}PQ}.
Soit {\varphi\,\colon P\mapsto(2X\!-\!1)P'\!+\!(X^{2}\!-\!X)P''}.
Montrer que {\varphi} est symétrique.
On se place dans {\mathbb{R}_{n}[X]}, muni de {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}PQ}.
Soit {\varphi\,\colon P\mapsto(2X\!-\!1)P'\!+\!(X^{2}\!-\!X)P''}.
Montrer que {\varphi} est symétrique.
Équation différentielle de Legendre
(Oral X-Cachan Psi)
On note {U_{n}=(X^{2}-1)^{n}} et {P_{n}=U_n^{(n)}}.
1. Montrer que {P_{n}} vérifie {(E):(1\!-\!x^{2})y''\!-\!2xy'\!+\!n(n\!+\!1) y\!=\!0}.
2. Donner les solutions {\mathcal{C}^{2}} de {(E)} sur {[-1,1]}.
3. Montrer que les P_n sont orthogonaux pour {(P\mid Q)=\displaystyle\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
On note {U_{n}=(X^{2}-1)^{n}} et {P_{n}=U_n^{(n)}}.
1. Montrer que {P_{n}} vérifie {(E):(1\!-\!x^{2})y''\!-\!2xy'\!+\!n(n\!+\!1) y\!=\!0}.
2. Donner les solutions {\mathcal{C}^{2}} de {(E)} sur {[-1,1]}.
3. Montrer que les P_n sont orthogonaux pour {(P\mid Q)=\displaystyle\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
Un endomorphisme symétrique de ℝn[X]
On munit {\mathbb{R}_{n}[X]} de {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{2}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
Étudier l’endomorphisme {P\mapsto u(P)=X(1-X)P''+(3-4X)P'}.
Étudier l’endomorphisme {P\mapsto u(P)=X(1-X)P''+(3-4X)P'}.
Un endomorphisme de polynômes
(Oral Centrale)
Étude de l’endomorphisme de {\mathbb{R}_n[X]} défini par {f(P)\!=\!(X\!-\!a)(X\!-\!b)P^{\prime}\!-\!nXP}
Étude de l’endomorphisme de {\mathbb{R}_n[X]} défini par {f(P)\!=\!(X\!-\!a)(X\!-\!b)P^{\prime}\!-\!nXP}
Racines d’un polynôme
Une base de polynômes
(Oral Ccp)
Montrer que les {P_k=X^k(1-X)^{n-k}} (avec {0\le k\le n}) forment une base de {\mathbb{R}_n[X]}.
Exprimer {1,X,\cdots ,X^n} dans cette base.
Montrer que les {P_k=X^k(1-X)^{n-k}} (avec {0\le k\le n}) forment une base de {\mathbb{R}_n[X]}.
Exprimer {1,X,\cdots ,X^n} dans cette base.
Équivalents et polynômes
(oral Mines-Ponts)
Soit {P \in\mathbb{R} [X]}. Trouver un équivalent de {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}P(k)} quand {n\to+\infty}.
Soit {P \in\mathbb{R} [X]}. Trouver un équivalent de {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}P(k)} quand {n\to+\infty}.
Déterminant et Chebyshev
Polynômes tels que P(X)=P(1-X)
Puissances d’une matrice
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A=\small\begin{pmatrix}0 & a & a^{2}\\ 1/a & 0 & a \\ 1/a^{2}& 1/a & 0\end{pmatrix}}. Calculer {A^{n}} pour {n\in\mathbb{N}}.
Soit {A=\small\begin{pmatrix}0 & a & a^{2}\\ 1/a & 0 & a \\ 1/a^{2}& 1/a & 0\end{pmatrix}}. Calculer {A^{n}} pour {n\in\mathbb{N}}.
Suite convergente de polynômes
(Oral Mines-Ponts)
Soit {(P_{n})_{n\ge 0}} une suite de {\mathbb{R}_{m}[X]}, avec {m \ge 2}, simplement convergente vers {f}. Montrer que {f} est polynomiale et que la convergence est uniforme sur tout segment.
Soit {(P_{n})_{n\ge 0}} une suite de {\mathbb{R}_{m}[X]}, avec {m \ge 2}, simplement convergente vers {f}. Montrer que {f} est polynomiale et que la convergence est uniforme sur tout segment.
Une base de Cn[X]
(Oral Centrale)
On définit les polynômes {P_k=(X-a)^k (X-b)^{n-k}}, où {a\ne b,\; 0\le k\le n}.
Montrer qu’ils forment une base de {\mathbb{C}_n[X]}.
On définit les polynômes {P_k=(X-a)^k (X-b)^{n-k}}, où {a\ne b,\; 0\le k\le n}.
Montrer qu’ils forment une base de {\mathbb{C}_n[X]}.
Le cousin de Vandermonde
(Oral Centrale)
Soit {(a,b,c,d)\in\mathbb{K}^4}. Calculer le déterminant {\begin{vmatrix}1&a&a^2&a^4\\1&b&b^2&b^4\\1&c&c^2&c^4\\1&d&d^2&d^4\end{vmatrix}}.
Soit {(a,b,c,d)\in\mathbb{K}^4}. Calculer le déterminant {\begin{vmatrix}1&a&a^2&a^4\\1&b&b^2&b^4\\1&c&c^2&c^4\\1&d&d^2&d^4\end{vmatrix}}.
Condition de diagonalisabilité
(Oral Mines-Ponts)
Soit {M\in{\mathcal M}_p(\mathbb{C})} telle que : {\forall n\in[[1,k\!+\!1]]}, {M^n=\lambda_1^n A_1+\cdots +\lambda_k^n A_k.}
Montrer que la matrice {M} est diagonalisable.
Soit {M\in{\mathcal M}_p(\mathbb{C})} telle que : {\forall n\in[[1,k\!+\!1]]}, {M^n=\lambda_1^n A_1+\cdots +\lambda_k^n A_k.}
Montrer que la matrice {M} est diagonalisable.
Diagonalisabilité et blocs
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}. Condition pour que {B=\begin{pmatrix}A&0\\A&A \end{pmatrix}} soit diagonalisable.
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}. Condition pour que {B=\begin{pmatrix}A&0\\A&A \end{pmatrix}} soit diagonalisable.
Une forme linéaire sur IR[X]
(Oral Centrale)
Étude de la forme linéaire S définie sur {\mathbb{R}[X]} par {S(P) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{P(k)}{k!}}
Étude de la forme linéaire S définie sur {\mathbb{R}[X]} par {S(P) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{P(k)}{k!}}
Endomorphisme et polynômes
(Oral X-Cachan Psi)
Soient {A,B} dans {\mathbb{C}[X]}, avec {A\ne0}, avec {\deg(B)= n+ 1}. En fonction des racines de A, ou B, on étudie l’injectivité ou la diagonalisabilité de l’endomorphisme {\varphi} de {\mathbb{C}_{n}[X]} qui à P associe le reste dans la division de {AP} par {B}.
Soient {A,B} dans {\mathbb{C}[X]}, avec {A\ne0}, avec {\deg(B)= n+ 1}. En fonction des racines de A, ou B, on étudie l’injectivité ou la diagonalisabilité de l’endomorphisme {\varphi} de {\mathbb{C}_{n}[X]} qui à P associe le reste dans la division de {AP} par {B}.
Un déterminant et un polynôme
(Oral Mines-Ponts)
Soient {a_1,\cdots ,a_n\in\mathbb{C}} distincts.
Calculer : {P_n(x)=\begin{vmatrix}x & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1 & x & a_3 & & \vdots \\ \vdots & a_2 &x & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots &a_n \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}&x\end{vmatrix}\quad}
Soient {a_1,\cdots ,a_n\in\mathbb{C}} distincts.
Calculer : {P_n(x)=\begin{vmatrix}x & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1 & x & a_3 & & \vdots \\ \vdots & a_2 &x & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots &a_n \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}&x\end{vmatrix}\quad}
Inversion d’une matrice
(Oral Mines-Ponts)
Soit {M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n+1}} où {m_{i,j}=0} si {j>i} et {m_{i,j}=\dbinom{i-1}{j-1}} si {j\leq i}.
Calculer l’inverse {M^{-1}} de la matrice M.
Soit {M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n+1}} où {m_{i,j}=0} si {j>i} et {m_{i,j}=\dbinom{i-1}{j-1}} si {j\leq i}.
Calculer l’inverse {M^{-1}} de la matrice M.
Polynômes et dérivations
(oral Centrale)
Soient {P\in\mathbb{R}[X]} et {Q=\displaystyle\sum_{k\ge0}P^{(k)}}.
Montrer que si {P} est sans racine réelle alors {Q} aussi.
Soient {P\in\mathbb{R}[X]} et {Q=\displaystyle\sum_{k\ge0}P^{(k)}}.
Montrer que si {P} est sans racine réelle alors {Q} aussi.
Polynômes scindés simples
(oral Mines-Ponts)
Soit {P(X) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}\in \mathbb{R}[X]} de degré {n\ge 1}, scindé simple dans \mathbb{R}.
Montrer que le polynôme {P} n’a pas deux coefficients consécutifs nuls.
Soit {P(X) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}\in \mathbb{R}[X]} de degré {n\ge 1}, scindé simple dans \mathbb{R}.
Montrer que le polynôme {P} n’a pas deux coefficients consécutifs nuls.
Le coefficient trinomial central
(oral Centrale)
Soit {a_n} le coefficient de {X^n} dans {(X^2+X+1)^n}.
Trouver une relation de récurrence entre les {a_n}.
Soit {a_n} le coefficient de {X^n} dans {(X^2+X+1)^n}.
Trouver une relation de récurrence entre les {a_n}.
Polynômes positifs sur IR+
(oral Centrale)
Soit {P\in\mathbb{R} [X]}. Montrer que {(a)\Leftrightarrow(b)}:
(a) {\forall x\in\mathbb{R}^{+},\;P(x)\ge 0}
(b) {\exists(A,B)\in\mathbb{R}[X]^{2},\;P(X)=A^{2}+XB^{2}}
Soit {P\in\mathbb{R} [X]}. Montrer que {(a)\Leftrightarrow(b)}:
(a) {\forall x\in\mathbb{R}^{+},\;P(x)\ge 0}
(b) {\exists(A,B)\in\mathbb{R}[X]^{2},\;P(X)=A^{2}+XB^{2}}