Endomorphismes de ℝ[X]
On étudie ici les éléments propres de deux endomorphismes de {\mathbb{R}[X]}.
Polynômes
Polynômes à valeurs positives
(Oral Centrale 2018)
Soit {P\in\mathbb{C}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}}. Montrer que {P\in\mathbb{R}[X]}.
Soit {P\in\mathbb{R}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. On pose {Q=\displaystyle\sum\limits_{k\ge0}P^{(k)}}.
Montrer que {Q(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. Réciproque?
Soit {P\in\mathbb{C}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}}. Montrer que {P\in\mathbb{R}[X]}.
Soit {P\in\mathbb{R}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. On pose {Q=\displaystyle\sum\limits_{k\ge0}P^{(k)}}.
Montrer que {Q(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. Réciproque?
Endomorphisme de polynômes
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {u\in\mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])} défini par {u(P)=nXP-(X^{2}-1)P'}.
Résoudre {nxy-(x^{2}-1)y'=\lambda y} sur {]-1,1[}. Diagonaliser {u}
Soit {u\in\mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])} défini par {u(P)=nXP-(X^{2}-1)P'}.
Résoudre {nxy-(x^{2}-1)y'=\lambda y} sur {]-1,1[}. Diagonaliser {u}
Matrices annulant un polynôme donné
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {P\in\mathbb{R}[X]} non constant et {n\in\mathbb{N}^{*}}.
Existe-t-il toujours {M\!\in\!\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que {P(M)\!=\!0}?
Soit {P\in\mathbb{R}[X]} non constant et {n\in\mathbb{N}^{*}}.
Existe-t-il toujours {M\!\in\!\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que {P(M)\!=\!0}?
Polynômes dérivés successifs
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n+1}}. À quelle condition a-t-on:
{\forall Q\in\mathbb{C}_{n}[X],\;\exists P\in\mathbb{C}_{n}[X],\;Q=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}P^{(k)}}
Soit {(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n+1}}. À quelle condition a-t-on:
{\forall Q\in\mathbb{C}_{n}[X],\;\exists P\in\mathbb{C}_{n}[X],\;Q=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}P^{(k)}}
Suites de polynômes d’Appell
(Oral Mines-Ponts 2018)
Étude des polynômes définis par : {B_{0}=1\text{\ et\ }\forall\,n\in\mathbb{N}^*,\;B_{n}'=nB_{n-1}}
Étude des polynômes définis par : {B_{0}=1\text{\ et\ }\forall\,n\in\mathbb{N}^*,\;B_{n}'=nB_{n-1}}
Inégalité PP » ≤ (P’)² si P est réel scindé
Polynômes stabilisant {z∊ℂ, |z|=1}
(Oral Mines-Ponts 2018)
On note {\mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C},\;|z|=1\}}.
On note {\mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C},\;|z|=1\}}.
Soit {P\in\mathbb{C}[X]}. Montrer que {P(\mathbb{U})\subset\mathbb{U}\Leftrightarrow P=aX^{n}} avec {|a|=1}
Suites polynomiales d’entiers
(Oral Centrale Mp)
Caractérisation des « suites polynomiales d’entiers »
Caractérisation des « suites polynomiales d’entiers »
Polynômes stables
(Oral Centrale Mp)
Polynômes stables
Polynômes stables
Polynômes et suite de Fibonacci
(Oral Centrale Mp)
Étude des {P_n(x)=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1-x^{F_k})}, où les {F_k} forment la suite de Fibonacci.
Étude des {P_n(x)=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1-x^{F_k})}, où les {F_k} forment la suite de Fibonacci.
Un endomorphisme symétrique de ℝn[X]
(Exercice d’oral Centrale Mp)
Étude d’un endomorphisme symétrique de ℝn[X].
Étude d’un endomorphisme symétrique de ℝn[X].
Approximants de Padé de exp(x)
(Oral Centrale Mp)
Approximants de Padé de exp(x)
Approximants de Padé de exp(x)
Déterminant et polynômes
(Oral Centrale Mp)
Soit n\in\mathbb{N}, et {P_{n,j}(x)=(1-x)^{j}(1+x)^{n-j}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{n,i,j}x^{i}} pour 0\le j\le n.
On étudie la matrice des coefficients a_{n,i,j} et on calcule son déterminant.
Soit n\in\mathbb{N}, et {P_{n,j}(x)=(1-x)^{j}(1+x)^{n-j}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{n,i,j}x^{i}} pour 0\le j\le n.
On étudie la matrice des coefficients a_{n,i,j} et on calcule son déterminant.
Un produit scalaire entre polynômes
(Oral Centrale Mp)
Étude de {\left(f\mid g\right)=\dfrac{2}{n}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(c_{k})g(c_{k})}, où {c_k=\cos\Bigl(\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr)}
Étude de {\left(f\mid g\right)=\dfrac{2}{n}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(c_{k})g(c_{k})}, où {c_k=\cos\Bigl(\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr)}
Racines du polynôme dérivé (bis)
(Oral Centrale Mp)
Comportement asymptotique des racines de {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k^2)}
Comportement asymptotique des racines de {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k^2)}
Les racines du polynôme dérivé
(Oral Centrale Mp)
Comportement asymptotique des racines de {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k)}
Comportement asymptotique des racines de {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k)}
Dans une quartique, le nombre d’or
(Oral Centrale Mp)
Le nombre d’or caché dans la sécante joignant deux inflexions d’une quartique.
Le nombre d’or caché dans la sécante joignant deux inflexions d’une quartique.
Une base de Kn[X]
(Oral Mines-Ponts)
Soient {P\in \mathbb{K}[X]}, de degré {n}, et soient {a_{0},...,a_{n}} distincts dans {\mathbb{K}}.
Montrer que les polynômes {P_j(X)=P(X+a_{j})} forment une base de {\mathbb{K}_{n}[X]}.
Soient {P\in \mathbb{K}[X]}, de degré {n}, et soient {a_{0},...,a_{n}} distincts dans {\mathbb{K}}.
Montrer que les polynômes {P_j(X)=P(X+a_{j})} forment une base de {\mathbb{K}_{n}[X]}.
Une factorisation de polynôme
(Oral Mines-Ponts)
Soit {n\in \mathbb{N}^{\ast }}. On considère le polynôme : {\begin{array}{rl}P_n&=1+2X+3X^{2}+\cdots+(n-1)X^{n-2}+nX^{n-1}\\\\&+(n-1)X^{n}+...+2X^{2n-3}+X^{2n-2}\end{array}}Trouver les racines de {P_n} et le factoriser dans {\mathbb{C}[X]}.
Soit {n\in \mathbb{N}^{\ast }}. On considère le polynôme : {\begin{array}{rl}P_n&=1+2X+3X^{2}+\cdots+(n-1)X^{n-2}+nX^{n-1}\\\\&+(n-1)X^{n}+...+2X^{2n-3}+X^{2n-2}\end{array}}Trouver les racines de {P_n} et le factoriser dans {\mathbb{C}[X]}.