Polynômes stables

(Oral Centrale Mp)
On dit que {A \in \mathbb{R}[X]} est stable si ses racines {z} vérifient {\text{Re}(z)\lt 0}.

  1. Soit {A \in \mathbb{R}[X]} un polynôme unitaire.

    • Montrer que si {A} est stable alors tous ses coefficients sont strictement positifs.
    • Soit {n=\deg (A)}. On note {\alpha_1,\cdots,\alpha_n} les racines complexes de {A}. On pose :{B(X)=\displaystyle\prod_{1 \leq i \lt j \leq n} (X - (\alpha_i + \alpha_j))}Montrer que : ({A} stable) {\iff} {A} et {B} sont à coefficients {\gt 0}.
    • Soit {A=X^3+aX^2+bX+c\in\mathbb{R}[X]}.
      Soit {u,v,w} ses racines.
      À quelles conditions {A} est-il stable?
  2. Soient {\alpha_1, \cdots, \alpha_n} des nombres complexes.
    On note {\sigma_1,\cdots,\sigma_n} leurs fonctions symétriques élémentaires.
    Pour tout {k \in \mathbb{N}}, soit {S_k = \displaystyle\sum_{i=1}^n \alpha_i^k}.
    On pose {P(t) = \displaystyle\prod_{i=1}^n (1-\alpha_i t)}.

    • Exprimer {P (t)} à l’aide de {\sigma_1,\cdots,\sigma_n}.
    • Développer en série entière {\varphi(t)=\dfrac{P'(t)}{P(t)}}.
    • En déduire une relation liant {\sigma_1,\cdots,\sigma_n} et les sommes {S_k}.
  3. On note pour {k \in \mathbb{N}}, {T_k\! =\!\! \displaystyle\sum_{1 \leq i \lt j \leq n}\!\! (\alpha_i + \alpha_j)^k}.
    On pose {f (t) = \displaystyle\sum_{i=1}^n e^{\alpha_i t}} et {g (t) = f (t)^2}.

    • Développer {f} en série entière et en déduire le développement de {g}.
    • Développer {g} autrement et en déduire une relation liant les {S_k} et les {T_k}.
    • Comment calculer les coefficients de {B} en fonction de ceux de {A} ?

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