Polynômes
Exercices corrigés sur le thème « polynômes » pour les classes de Sup Mpsi Pcsi, et Spé Mp, Pc, Psi (posés aux concours Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.)

Une base de Cn[X]

(Oral Centrale)
On définit les polynômes

{P_k=(X-a)^k (X-b)^{n-k}}

, où

{a\ne b,\; 0\le k\le n}

.
Montrer qu’ils forment une base de

{\mathbb{C}_n[X]}

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Le cousin de Vandermonde

(Oral Centrale)
Soit

{(a,b,c,d)\in\mathbb{K}^4}

. Calculer le déterminant

{\begin{vmatrix}1&a&a^2&a^4\\1&b&b^2&b^4\\1&c&c^2&c^4\\1&d&d^2&d^4\end{vmatrix}}

➡️

Condition de diagonalisabilité

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M\in{\mathcal M}_p(\mathbb{C})}

telle que :

{\forall n\in[[1,k\!+\!1]]}

{M^n=\lambda_1^n A_1+\cdots +\lambda_k^n A_k.}

Montrer que la matrice

{M}

est diagonalisable.

➡️

Diagonalisabilité et blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

. Condition pour que

{B=\begin{pmatrix}A&0\\A&A \end{pmatrix}}

soit diagonalisable.

➡️

Une forme linéaire sur IR[X]

(Oral Centrale)
Étude de la forme linéaire

S

définie sur

{\mathbb{R}[X]}

par

{S(P) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{P(k)}{k!}}

➡️

Endomorphisme et polynômes

(Oral X-Cachan Psi)
Soient

{A,B}

dans

{\mathbb{C}[X]}

, avec

{A\ne0}

, avec

{\deg(B)= n+ 1}

. En fonction des racines de

A

, ou

B

, on étudie l’injectivité ou la diagonalisabilité de l’endomorphisme

{\varphi}

{\mathbb{C}_{n}[X]}

qui à

P

associe le reste dans la division de

{AP}

par

{B}

➡️

Un déterminant et un polynôme

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{a_1,\cdots ,a_n\in\mathbb{C}}

distincts.
Calculer :

{P_n(x)=\begin{vmatrix}x & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1 & x & a_3 & & \vdots \\ \vdots & a_2 &x & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots &a_n \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}&x\end{vmatrix}\quad}

➡️

Inversion d’une matrice

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n+1}}

où

{m_{i,j}=0}

{j>i}

{m_{i,j}=\dbinom{i-1}{j-1}}

{j\leq i}

.
Calculer l’inverse

{M^{-1}}

de la matrice

M

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Polynômes et dérivations

(oral Centrale)
Soient

{P\in\mathbb{R}[X]}

{Q=\displaystyle\sum_{k\ge0}P^{(k)}}

.
Montrer que si

{P}

est sans racine réelle alors

{Q}

aussi.

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Polynômes scindés simples

(oral Mines-Ponts)
Soit

{P(X) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}\in \mathbb{R}[X]}

de degré

{n\ge 1}

, scindé simple dans

\mathbb{R}

.
Montrer que le polynôme

{P}

n’a pas deux coefficients consécutifs nuls.

➡️

Le coefficient trinomial central

(oral Centrale)
Soit

{a_n}

le coefficient de

{X^n}

dans

{(X^2+X+1)^n}

.
Trouver une relation de récurrence entre les

{a_n}

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Polynômes positifs sur IR+

(oral Centrale)
Soit

{P\in\mathbb{R} [X]}

. Montrer que

{(a)\Leftrightarrow(b)}

:
(a)

{\forall x\in\mathbb{R}^{+},\;P(x)\ge 0}

(b)

{\exists(A,B)\in\mathbb{R}[X]^{2},\;P(X)=A^{2}+XB^{2}}

➡️