Arithmétique des polynômes (1/2)

Exercices corrigés


Exercice 1.
Soient {A} et {B} deux polynômes à coefficients entiers, tels que les coefficients de {A} sont premiers entre eux dans leur ensemble (idem pour {B}).
Montrer qu’il en est de même pour {AB}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 2.
Soient A et B dans \mathbb{K}[X].
Montrer que {A\wedge B=1\Leftrightarrow AB\wedge(A+B)=1}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 3.
Montrer que le Pgcd de {X^n-1} et de {X^p-1} est {X^{\text{pgcd}(n,p)}-1}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 4.
Soient {A,B} dans {\mathbb{K}[X]} (non tous deux nuls).
Soient {U,V} dans {\mathbb{K}[X]} tels que {AU+BV={\text{pgcd}}(A,B)}.
Montrer que {U} et {V} sont premiers entre eux.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.