Dérivation des polynômes (2/2)

Exercices corrigés


Exercice 1.
Trouver un polynôme {A} de degré {5} sachant que le reste dans sa division par {(X+1)^3} est {-5} et que le reste dans sa division par {(X-1)^3} est {11}.
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Exercice 2.
Soit A_n=(1+X)(X^n-1)+2nX^n(1-X)+n^2X^{n-1}(X-1)^2.
Montrer que {(X-1)^3} divise A_n. Quel est le quotient?
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Exercice 3.
Déterminer tous les polynômes de {\mathbb{K}[X]} divisibles par leur polynôme dérivé.
Indication: il y a plusieurs méthodes bien différentes.
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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.