Archives des Polynômes, fractions rationnelles

(Oral Centrale). Deux polynômes sont dits affinement équivalents si on passe de l’un à l’autre par un isomorphisme affine. On étudie cette relation sur ℝ[X].

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Composition de polynômes

(Oral Centrale). Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un polynôme A puisse s’écrire comme le composé B(C(X)) de deux polynômes.

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Polynômes P tels que P(cos x)=cos P(x)

(Oral Mines-Ponts)
Résoudre l’équation d’inconnue

{P\in\mathbb{R}[X]}

définie par

{(E):\ \forall\,x\in\mathbb{R},\;P(\cos x)=\cos (P(x))}

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Majoration des racines d’un polynôme

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{P=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{0}\in \mathbb{C}[X]}

.
On pose

{A=|a_{n-1}|+\cdots +|a_{0}|}

.
Soit

{z}

une racine de

{P}

.
Montrer que

{|z|\leq \max \{1,\ A\}}

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Une décomposition en éléments simples

(Oral Mines-Ponts)
Montrer qu’il existe un unique polynôme

{P_n}

tel que :

{P_{n}\Big(X+\dfrac{1}{X}\Big)=X^{n}+\dfrac{1}{X^{n}}}

Décomposer

{1/P_{n}}

en éléments simples.

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Polynômes scindés simples (ou pas)

(Oral Centrale)
Soit

{P\in\mathbb{K}[X]\setminus\mathbb{K}}

. Existe-t-il toujours

{\lambda\in\mathbb{K}}

tels que

{P(X)-\lambda}

soit scindé simple dans

{\mathbb{K}[X]}

? (distinguer

{\mathbb{K}=\mathbb{R}}

puis

{\mathbb{K}=\mathbb{C}}

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Polynômes à valeurs positives

(Oral Centrale 2018)
Soit

{P\in\mathbb{C}[X]}

tel que

{P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}}

. Montrer que

{P\in\mathbb{R}[X]}

.
Soit

{P\in\mathbb{R}[X]}

tel que

{P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}

. On pose

{Q=\displaystyle\sum\limits_{k\ge0}P^{(k)}}

.
Montrer que

{Q(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}

. Réciproque?

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Polynômes dérivés successifs

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n+1}}

. À quelle condition a-t-on:

{\forall Q\in\mathbb{C}_{n}[X],\;\exists P\in\mathbb{C}_{n}[X],\;Q=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}P^{(k)}}

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Suites de polynômes d’Appell

(Oral Mines-Ponts 2018)
Étude des polynômes définis par :

{B_{0}=1\text{\ et\ }\forall\,n\in\mathbb{N}^*,\;B_{n}'=nB_{n-1}}

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Inégalité PP » ≤ (P’)² si P est réel scindé

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer l’inégalité

{PP''≤(P')^2}

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{P}

est un polynôme réel scindé.

Polynômes stabilisant {z∊ℂ, |z|=1}

(Oral Mines-Ponts 2018)
On note

{\mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C},\;|z|=1\}}

Soit ${P\in\mathbb{C}[X]}$ . Montrer que ${P(\mathbb{U})\subset\mathbb{U}\Leftrightarrow P=aX^{n}}$ avec ${|a|=1}$

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{n\in \mathbb{N}^{\ast }}

. On considère le polynôme :

{\begin{array}{rl}P_n&=1+2X+3X^{2}+\cdots+(n-1)X^{n-2}+nX^{n-1}\\\\&+(n-1)X^{n}+...+2X^{2n-3}+X^{2n-2}\end{array}}

Trouver les racines de

{P_n}

et le factoriser dans

{\mathbb{C}[X]}

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{P_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{X^{k}}{k!}}

n’a que des racines simples.

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Polynômes et divisibilité

(oral Ccp)
Trouver les polynômes

{A}

tels que

{(X\!-\!1)^{4}\mid A\!+\!1}

{(X\!+\!1)^{4}\mid A\!-\!1}

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Un système linéaire

(oral Ccp)
Résoudre

{\begin{cases} x+y+z=1\\\alpha x+\beta y+\gamma z=1\\\alpha^{2}x +\beta^{2}y +\gamma^{2}z =1\end{cases}\!\!\!}

où

{\alpha, \beta,\gamma}

sont les racines de

{X^{3}+X+1}

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Racines du polynôme dérivé

(oral Ccp)
Montrer que si

P

est scindé dans

\mathbb{R}[X]

, alors

P'

l’est aussi.

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Racines d’un polynôme

(oral Mines-Ponts)
Trouver les racines complexes de

{P(X)=1+2X+\ldots +2X^{n-1}+X^{n}}

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Polynômes tels que P(X)=P(1-X)

(oral Mines-Ponts)
Déterminer l’ensemble des

{P\in\mathbb{K}[X]}

tels que

{P(X) = P(1- X)}

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Polynômes et dérivations

(oral Centrale)
Soient

{P\in\mathbb{R}[X]}

{Q=\displaystyle\sum_{k\ge0}P^{(k)}}

.
Montrer que si

{P}

est sans racine réelle alors

{Q}

aussi.

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Produits de sommes de puissances

(oral Centrale)
Soit

{(x,y,z)\in\,\mathbb{C}^3}

tel que

{x+y+z=0}

.
Montrer que :

{\dfrac{x^5+y^5+z^5}5=\dfrac{x^2+y^2+z^2}2\times\dfrac{x^3+y^3+z^3}3.}

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Polynômes scindés simples

(oral Mines-Ponts)
Soit

{P(X) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}\in \mathbb{R}[X]}

de degré

{n\ge 1}

, scindé simple dans

\mathbb{R}

.
Montrer que le polynôme

{P}

n’a pas deux coefficients consécutifs nuls.

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Le coefficient trinomial central

(oral Centrale)
Soit

{a_n}

le coefficient de

{X^n}

dans

{(X^2+X+1)^n}

.
Trouver une relation de récurrence entre les

{a_n}

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Polynômes positifs sur IR+

(oral Centrale)
Soit

{P\in\mathbb{R} [X]}

. Montrer que

{(a)\Leftrightarrow(b)}

:
(a)

{\forall x\in\mathbb{R}^{+},\;P(x)\ge 0}

(b)

{\exists(A,B)\in\mathbb{R}[X]^{2},\;P(X)=A^{2}+XB^{2}}

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