Polynômes, fractions rationnelles
QCM (polynômes)
Un questionnaire à choix unique (à chacune des 9 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Polynômes ».
Théorème de Rouché pour les polynômes
(Oral Centrale) On montre que si {P} et {Q} sont deux polynômes tels que {|z|=r \Rightarrow |P(z)−Q(z)|\lt|Q(z)|}, alors ils ont le même nombre de racines dans {D(0,r)}.
Relations entre sommes harmoniques
(Oral Centrale). On établit des relations entre des {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{P(k)}{k}} , où {P} est un polynôme.
Irréductibilité des polynômes de Tchebychev
(Oral Centrale). Dans cet exercice, on étudie les propriétés d’irréductibilité dans {\mathbb{Z}[X]} des polynômes de Tchebychev.
Zéros d’un polynôme de Maclaurin
(Orale Centrale). On étudie les premières racines réelles strictement positives du polynôme de Maclaurin de la fonction sinus.
Racines de dérivées n-ièmes
(Oral Centrale) On étudie les racines des dérivées {n}-ièmes des fonctions définies par {f(x)=exp(1/(1-x^2))} et {g(x)=exp(1/(1+x^2))}.
Racines d’une suite de polynômes
(Oral Centrale) On étudie les propriétés des racines de {P_{n}(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(nX)^{k}}{k!}}
Unitaires de ℤ[X] à racines dans D(0,1)
(Oral Centrale) On étudie l’ensemble des polynômes unitaires de {\mathbb{Z}[X]}, à racines dans le disque unité. Parmi eux, les polynômes cyclotomiques.
Polynômes affinement équivalents
(Oral Centrale). Deux polynômes sont dits affinement équivalents si on passe de l’un à l’autre par un isomorphisme affine. On étudie cette relation sur ℝ[X].
Composition de polynômes
(Oral Centrale). Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un polynôme A puisse s’écrire comme le composé B(C(X)) de deux polynômes.
Polynômes P tels que P(cos x)=cos P(x)
(Oral Mines-Ponts)
Résoudre l’équation d’inconnue {P\in\mathbb{R}[X]} définie par {(E):\ \forall\,x\in\mathbb{R},\;P(\cos x)=\cos (P(x))}
Résoudre l’équation d’inconnue {P\in\mathbb{R}[X]} définie par {(E):\ \forall\,x\in\mathbb{R},\;P(\cos x)=\cos (P(x))}
Majoration des racines d’un polynôme
(Oral Mines-Ponts)
Soit {P=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{0}\in \mathbb{C}[X]}.
On pose {A=|a_{n-1}|+\cdots +|a_{0}|}.
Soit {z} une racine de {P}.
Montrer que {|z|\leq \max \{1,\ A\}}.
Soit {P=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{0}\in \mathbb{C}[X]}.
On pose {A=|a_{n-1}|+\cdots +|a_{0}|}.
Soit {z} une racine de {P}.
Montrer que {|z|\leq \max \{1,\ A\}}.
Une décomposition en éléments simples
(Oral Mines-Ponts)
Montrer qu’il existe un unique polynôme {P_n} tel que : {P_{n}\Big(X+\dfrac{1}{X}\Big)=X^{n}+\dfrac{1}{X^{n}}}Décomposer {1/P_{n}} en éléments simples.
Montrer qu’il existe un unique polynôme {P_n} tel que : {P_{n}\Big(X+\dfrac{1}{X}\Big)=X^{n}+\dfrac{1}{X^{n}}}Décomposer {1/P_{n}} en éléments simples.
Polynômes scindés simples (ou pas)
(Oral Centrale)
Soit {P\in\mathbb{K}[X]\setminus\mathbb{K}}. Existe-t-il toujours {\lambda\in\mathbb{K}} tels que {P(X)-\lambda} soit scindé simple dans {\mathbb{K}[X]} ? (distinguer {\mathbb{K}=\mathbb{R}} puis {\mathbb{K}=\mathbb{C}}).
Soit {P\in\mathbb{K}[X]\setminus\mathbb{K}}. Existe-t-il toujours {\lambda\in\mathbb{K}} tels que {P(X)-\lambda} soit scindé simple dans {\mathbb{K}[X]} ? (distinguer {\mathbb{K}=\mathbb{R}} puis {\mathbb{K}=\mathbb{C}}).
Polynômes à valeurs positives
(Oral Centrale 2018)
Soit {P\in\mathbb{C}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}}. Montrer que {P\in\mathbb{R}[X]}.
Soit {P\in\mathbb{R}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. On pose {Q=\displaystyle\sum\limits_{k\ge0}P^{(k)}}.
Montrer que {Q(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. Réciproque?
Soit {P\in\mathbb{C}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}}. Montrer que {P\in\mathbb{R}[X]}.
Soit {P\in\mathbb{R}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. On pose {Q=\displaystyle\sum\limits_{k\ge0}P^{(k)}}.
Montrer que {Q(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. Réciproque?
Polynômes dérivés successifs
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n+1}}. À quelle condition a-t-on:
{\forall Q\in\mathbb{C}_{n}[X],\;\exists P\in\mathbb{C}_{n}[X],\;Q=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}P^{(k)}}
Soit {(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n+1}}. À quelle condition a-t-on:
{\forall Q\in\mathbb{C}_{n}[X],\;\exists P\in\mathbb{C}_{n}[X],\;Q=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}P^{(k)}}
Suites de polynômes d’Appell
(Oral Mines-Ponts 2018)
Étude des polynômes définis par : {B_{0}=1\text{\ et\ }\forall\,n\in\mathbb{N}^*,\;B_{n}'=nB_{n-1}}
Étude des polynômes définis par : {B_{0}=1\text{\ et\ }\forall\,n\in\mathbb{N}^*,\;B_{n}'=nB_{n-1}}
Inégalité PP » ≤ (P’)² si P est réel scindé
Polynômes stabilisant {z∊ℂ, |z|=1}
(Oral Mines-Ponts 2018)
On note {\mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C},\;|z|=1\}}.
On note {\mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C},\;|z|=1\}}.
Soit {P\in\mathbb{C}[X]}. Montrer que {P(\mathbb{U})\subset\mathbb{U}\Leftrightarrow P=aX^{n}} avec {|a|=1}