Polynômes: divisibilité, racines (2/2)

Exercices corrigés


Exercice 1.
Dans {\mathbb{R}[X]}, on pose {A=(X\sin\theta+\cos\theta)^n} et {B=X^2+1}.
Quel est le reste dans la division de A par B?
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Exercice 2.
Soient {m,n,p,q} des entiers naturels.
Montrer que {B=X^3\!+\!X^2\!+\!X\!+\!1} divise {A=X^{4m+3}\!+\!X^{4n+2}\!+\!X^{4p+1}\!+\!X^{4q}.}
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Exercice 3.
Déterminer un polynôme {A} unitaire de degré {3}, divisible par {(X-1)} et ayant le même reste dans les divisions par {(X-2)}, {(X-3)} et {(X-4)}.
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Exercice 4.
On pose {\small A_n=X^{n+1}\cos(n\!-\!1)\theta-X^n\cos n\theta-X\cos\theta+1}
Effectuer la division de A_n par {B=X^2-2X\cos\theta+1}.
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Exercice 5.
Soit {A\in\mathbb{K}[X]} dont les restes dans les divisions par {X\!-\!1,X\!-\!2,X\!-\!3} sont {3,7,13}. Donner le reste dans la division de {A} par {B=(X\!-\!1)(X\!-\!2)(X\!-\!3).}
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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.