Exercices corrigés
| Exercice 1. Trouver {P} tel que {P(1)=3,\;P'(1)=4,\;P''(1)=5} et {\forall\, n\ge3,\;P^{(n)}(1)=0}. |
| Exercice 2. Un polynôme unitaire {P} de degré {n} vérifie : {nP=(X-a)P'+2bP''}. Donner les coefficients de {P} suivant les puissances de {X-a}. |
| Exercice 3. Soient {(a,b,n)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}^2}, et {P=\dfrac1{n!}X^n(a-bX)^n}. Montrer que P et ses dérivées prennent des valeurs entières en {x=0} et en {x=\dfrac ab}. |
| Exercice 4. On considère le polynôme {P_n=1+X+\dfrac{X^2}{2!}+\cdots+\dfrac{X^n}{n!}}. Montrer que {P_n} n’a que des racines simples dans {\mathbb{C}}. |