Polynômes: divisibilité, racines (1/2)

Exercice 1.
Soit {a,b,c} trois scalaires distincts et non nuls.

Soit {\small\begin{array}{rl}A&=\dfrac{X(X\!-\!b)(X\!-\!c)}{a(a\!-\!b)(a\!-\!c)}+\dfrac{X(X\!-\!c)(X\!-\!a)}{b(b\!-\!c)(b\!-\!a)}\\\\&\quad+\dfrac{X(X\!-\!a)(X\!-\!b)}{c(c\!-\!a)(c\!-\!b)}\end{array}}

Soit {B=1+\dfrac1{abc}(X\!-\!a)(X\!-\!b)(X\!-\!c)}.

Montrer que {A=B}.

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Exercice 2.
Pour tout n\in\mathbb{N}, pose {A_n=a_nX^{n+1}+b_nX^n+1}.
Déterminer {a_n,b_n} pour que {A_n} soit divisible par {B=(X-1)^2}.
Quel est alors le quotient {Q_n} dans la division?
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Exercice 3.
Quand {A=(X+1)^n-X^n-1} est-il divisible par {B=X^2+X+1} ?
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Exercice 4.
Soit {A=X^4-X^3-3X^2+3X-4} et {a=1+\sqrt[3]{2}}. Calculer A(a).
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Exercice 5.
Soit {a=2\cos\dfrac{\pi}{5}}.

Trouver un polynôme {P} à coefficients entiers, de degré le plus petit possible, tel que {P(a)= 0}.

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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles. Classe de Psi*, lycée Chaptal, Paris.