Exercices corrigés
| Exercice 1. Soit {a,b,c} trois scalaires distincts et non nuls. Soit {\small\begin{array}{rl}A&=\dfrac{X(X\!-\!b)(X\!-\!c)}{a(a\!-\!b)(a\!-\!c)}+\dfrac{X(X\!-\!c)(X\!-\!a)}{b(b\!-\!c)(b\!-\!a)}\\\\&\quad+\dfrac{X(X\!-\!a)(X\!-\!b)}{c(c\!-\!a)(c\!-\!b)}\end{array}} Soit {B=1+\dfrac1{abc}(X\!-\!a)(X\!-\!b)(X\!-\!c)}. Montrer que {A=B}. |
| Exercice 2. Pour tout n\in\mathbb{N}, pose {A_n=a_nX^{n+1}+b_nX^n+1}. Déterminer {a_n,b_n} pour que {A_n} soit divisible par {B=(X-1)^2}. Quel est alors le quotient {Q_n} dans la division? |
| Exercice 3. Quand {A=(X+1)^n-X^n-1} est-il divisible par {B=X^2+X+1} ? |
| Exercice 4. Soit {A=X^4-X^3-3X^2+3X-4} et {a=1+\sqrt[3]{2}}. Calculer A(a). |
| Exercice 5. Soit {a=2\cos\dfrac{\pi}{5}}. Trouver un polynôme {P} à coefficients entiers, de degré le plus petit possible, tel que {P(a)= 0}. |