Pour {n\geq1}, on pose {P_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(nx)^k/k!} et, pour {x\geq0}, {f_n(x)=e^{-nx}P_n(x)}. On étudie la convergence simple de {(f_n)} sur {\mathbb R_+}.
Les questions [P] utilisent Python. L’exercice consiste essentiellement en les questions 1 à 3 ; la question 4, plus technique, complète l’étude au point {x=1}.
1. (a) [P] Écrire
P(n,x) renvoyant {P_n(x)}. Vérifier {P_7(0,1)\simeq2,013734818055556}.1. (b) [P] Écrire
plotf(n) pour tracer {f_n} sur {[0,2]} avec cent abscisses équidistantes. Tracer les graphes pour {n\in\{1,5,20,100\}} et conjecturer la convergence simple.Dans la question 2, {x\in[0,1[} est fixé.
2. (a) Montrer que {1-f_n(x)=e^{-nx}\sum\limits_{k=n}^{+\infty}(nx)^k/k!}.
2. (b) En déduire {0\leq1-f_n(x)\leq e^{-nx}\frac{(nx)^n}{n!(1-x)}}Indication : vérifier {n^{k-n}n!/k!\leq1} pour {k\geq n}.
2. (c) Montrer que {f_n(x)\to1}.
3. Pour {x>1} fixé, montrer que {u_k=(nx)^k/k!} est croissante pour {0\leq k\lt n}. En déduire {f_n(x)\leq n(nx)^ne^{-nx}/n!}, puis {f_n(x)\to0}.
On étudie maintenant {u_n=f_n(1)=e^{-n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}n^k/k!}. On a aussi {u_n=1-e^{-n}\sum\limits_{k=n}^{+\infty}n^k/k!}.
4. (a) Montrer que {1-2u_n=(n^ne^{-n}/n!)(a_n+b_n-c_n)}, avec {\begin{array}{l}\lambda_k=\dfrac{n^{k-n}n!}{k!},\quad a_n=\displaystyle\sum_{k=2n}^{+\infty}\lambda_k\\[4pt]b_n=\displaystyle\sum_{k=n}^{2n-1}\lambda_k,\quad c_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\lambda_k\end{array}}
4. (b) Si {k\geq2n}, montrer que {\lambda_k\leq2^{-(k-2n+1)}}. En déduire {0\leq a_n\leq1}.
4. (c) Posons {\beta_1=\sigma_1=1} puis, pour {1\leq k\lt n}, {\beta_{k+1}=1+\frac{n\beta_k}{2n-k},\quad\sigma_{k+1}=1+\frac{k\sigma_k}{n}}Montrer par récurrence que {\sigma_k\leq n/(n+1-k)} et {0\leq\beta_k-\sigma_k\leq1}.
4. (d) Observer que {b_n=\beta_n} et {c_n=\sigma_n}, en développant les expressions emboîtées des récurrences.
4. (e) En déduire {0\leq1-2u_n\leq2n^ne^{-n}/n!}, puis la limite de {u_n}. Conclure sur la convergence simple de {(f_n)}.