Anagrammes d’abracadabra
Combien « abracadabra » a-t-il d’anagrammes? Quel est le moins probable?
Python
Calcul de déterminant en Python
(Oral Centrale)
Soit {A_n=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}} avec {a_{i,j}=(-1)^{\max(i,j)}}. Calculer {\det(A_n)}.
Soit {A_n=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}} avec {a_{i,j}=(-1)^{\max(i,j)}}. Calculer {\det(A_n)}.
Nombres de Bell, formule de Dobinksi
(Oral Mines-Ponts)
Soit {B_n} le nombre de partitions de {[[1,n]]}.
Montrer {B_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}B_k} et {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{B_n}{n!}x^n=e^{e^x-1}}
Montrer : {T_n=\dfrac1{\text{e}}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{k^n}{k!}} (formule de Dobinski).
Soit {B_n} le nombre de partitions de {[[1,n]]}.
Montrer {B_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}B_k} et {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{B_n}{n!}x^n=e^{e^x-1}}
Montrer : {T_n=\dfrac1{\text{e}}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{k^n}{k!}} (formule de Dobinski).
Recherche de rep-units
On admet que tout {n\in\mathbb{N}} impair non multiple de {5} a un multiple {N} ne s’écrivant (en base {10}) qu’avec des {1}. L’objet de cet exercice est de programmer la recherche de N, et d’étudier pour quelles valeurs de n l’entier N a une longueur record
Élimination de jetons sur un cercle
(Oral Ensam)
On dispose en cercle {n} jetons numérotés de {0} à {n- 1} (comme sur le cadran d’une horloge). On retire le jeton numéro {0}, puis un sur deux en parcourant le cercle jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’un seul jeton. On étudie ici le numéro du dernier jeton restant.
On dispose en cercle {n} jetons numérotés de {0} à {n- 1} (comme sur le cadran d’une horloge). On retire le jeton numéro {0}, puis un sur deux en parcourant le cercle jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’un seul jeton. On étudie ici le numéro du dernier jeton restant.
Jetons bicolores
(Oral Ensam)
Soit n jetons bleus/blancs sur une table (b faces bleues visibles). On en prend deux jetons au hasard. Si le 2nd est d’une couleur différente du 1er, on le retourne. On étudie le nombre {X_{k}} de faces bleues après {k} étapes, et la loi-limite de X_k quand k\to+\infty
Soit n jetons bleus/blancs sur une table (b faces bleues visibles). On en prend deux jetons au hasard. Si le 2nd est d’une couleur différente du 1er, on le retourne. On étudie le nombre {X_{k}} de faces bleues après {k} étapes, et la loi-limite de X_k quand k\to+\infty
Une forme linéaire sur IR[X]
(Oral Centrale)
Étude de la forme linéaire S définie sur {\mathbb{R}[X]} par {S(P) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{P(k)}{k!}}
Étude de la forme linéaire S définie sur {\mathbb{R}[X]} par {S(P) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{P(k)}{k!}}
Le dernier chiffre non nul de n!
On écrit une fonction Python renvoyant le dernier chiffre non nul de « factorielle n » (sans calculer n!, bien sûr). Bel exercice d’arithmétique finalement!
Des milliers de décimales de π
Soit x=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}p_k\,u_k, où {u_k=\dfrac{(k!)^2\,2^{k}}{(2k+1)!}}.
Ce développement est dit régulier si {\begin{cases}\forall k\ge1,\; 0\le p_k\le 2k\\\forall n\ge1,\;\exists m\ge n, p_m\lt 2k\end{cases}}On étudie la convergence de ces développements, et un algorithme réduisant (par reports de retenues) à sa forme régulière le développement de 10^nx, avec n\in\mathbb{N}. On en déduit une fonction Python donnant des milliers de décimales de \pi.
Ce développement est dit régulier si {\begin{cases}\forall k\ge1,\; 0\le p_k\le 2k\\\forall n\ge1,\;\exists m\ge n, p_m\lt 2k\end{cases}}On étudie la convergence de ces développements, et un algorithme réduisant (par reports de retenues) à sa forme régulière le développement de 10^nx, avec n\in\mathbb{N}. On en déduit une fonction Python donnant des milliers de décimales de \pi.
Des milliers de décimales de e
On utilise les notations de l’article précédent (« Base de numération factorielle »).
Connaissant la représentation factorielle d’un réel x, et pour tout entier n, on étudie un algorithme donnant la décomposition factorielle de 10^n x.
Application: on programme le calcul de milliers de décimales de e.
Connaissant la représentation factorielle d’un réel x, et pour tout entier n, on étudie un algorithme donnant la décomposition factorielle de 10^n x.
Application: on programme le calcul de milliers de décimales de e.
Base de numération factorielle
On montre que tout réel x s’écrit de façon unique x=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{b_n}{n!} où {b_1\in\mathbb{Z}}, {b_n\in[\![0,n-1]\!]} pour {n\ge2}, et où pour tout {n\ge1}, il existe {m\ge n} tel que {b_m\lt n-1}.
Avec Python, et des schémas de Horner, on programme les conversions entre cette représentation « factorielle » et la représentation décimale.
Avec Python, et des schémas de Horner, on programme les conversions entre cette représentation « factorielle » et la représentation décimale.
Le théorème chinois
Soit {n_1,n_2,\ldots,n_r} dans {\mathbb{N}^*}, premiers entre eux deux à deux. Soit {N=\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{r}n_k}.
Il existe un unique x\in[\![0,N-1]\!] tel que x\equiv n_j\mod n_j pour tout j.
Ce résultat est communément appelé théorème chinois. L’objet de cet article est de programmer le calcul de x en Python (deux méthodes).
Il existe un unique x\in[\![0,N-1]\!] tel que x\equiv n_j\mod n_j pour tout j.
Ce résultat est communément appelé théorème chinois. L’objet de cet article est de programmer le calcul de x en Python (deux méthodes).
Coefficients de Bézout
Soient {m,n} dans {\mathbb{N}^*}, avec {m\wedge n=1}.
Il existe une infinité de {(u,v)\in\mathbb{Z}^2} tel que {um+vn=1}.
Il existe en particulier un couple {(u,v)} unique tel que {\left|u\right|\le n/2} et {\left|v\right|\le m/2}.
L’objet de cet article est de programmer deux méthodes (l’une itérative, l’autre récursive) de calcul des deux entiers u et v.
Il existe une infinité de {(u,v)\in\mathbb{Z}^2} tel que {um+vn=1}.
Il existe en particulier un couple {(u,v)} unique tel que {\left|u\right|\le n/2} et {\left|v\right|\le m/2}.
L’objet de cet article est de programmer deux méthodes (l’une itérative, l’autre récursive) de calcul des deux entiers u et v.
Le problème des n reines
Le problème des huit reines est bien connu.
On se propose ici de programmer avec Python (et de visualiser avec le package turtle) la recherche des solutions au problème plus général des n reines (placées sur un échiquier n×n de telle sorte qu’aucune d’elle ne soit en prise avec une autre).
On se propose ici de programmer avec Python (et de visualiser avec le package turtle) la recherche des solutions au problème plus général des n reines (placées sur un échiquier n×n de telle sorte qu’aucune d’elle ne soit en prise avec une autre).
Le parcours du cavalier
On demande de programmer et visualiser (en Python, avec le package turtle) le parcours d’un cavalier sur un échiquier. À partir d’une position initiale du cavalier, on s’attachera à décrire des trajectoires explorant la totalité de l’échiquier en passant une fois et une seule sur chaque case (voir l’article de Wikipedia). On pourra généraliser à des échiquiers de tailles différentes et/ou modifiés pour rendre certaines de leurs cases inaccessibles.
Le collectionneur, épisode 1
Pour doper ses ventes, une marque de chocolat cache dans chaque tablette (et de façon équiprobable) l’une des N figurines d’une collection. On considère ici l’expérience (aléatoire!) vécue par un client cherchant compulsivement à compléter sa collection.
On note {X} le nombre de tablettes à acheter pour compléter l’album. Dans cet épisode, on calcule la loi de X, son espérance, sa variance.
On note {X} le nombre de tablettes à acheter pour compléter l’album. Dans cet épisode, on calcule la loi de X, son espérance, sa variance.
L’urne d’Ehrenfest, épisode 5
Pour les notations, revoir l’épisode 1, l’épisode 2, l’épisode 3, et l’épisode 4.
On s’intéresse ici à l’espérance du temps de retour de l’urne dans sa composition initiale. On illustre ensuite les résultats avec Python.
On s’intéresse ici à l’espérance du temps de retour de l’urne dans sa composition initiale. On illustre ensuite les résultats avec Python.
L’urne d’Ehrenfest, épisode 4
Pour les notations, revoir l’épisode 1, l’épisode 2, et l’épisode 3. Dans cet épisode, on étudie les puissances successives de la matrice de transition, et on illustre les résultats avec Python.
L’urne d’Ehrenfest, épisode 3
Pour les notations, revoir l’épisode 1 et l’épisode 2.
Dans cet épisode, on diagonalise la matrice de transition de la chaîne de Markov. On en déduit que la seule distribution invariante est binomiale. On illustre avec Python les variations éventuelles des lois X_n, quand on part de la loi initiale de X_0 (qui pourra être constante, uniforme, binomiale, etc.)
Dans cet épisode, on diagonalise la matrice de transition de la chaîne de Markov. On en déduit que la seule distribution invariante est binomiale. On illustre avec Python les variations éventuelles des lois X_n, quand on part de la loi initiale de X_0 (qui pourra être constante, uniforme, binomiale, etc.)
L’urne d’Ehrenfest, épisode 2
On reprend les notations et résultats de l’épisode 1.
On forme ici la matrice de transition associée à ce processus de Markov, et on l’interprète comme celle d’un endomorphisme \varphi de {\mathbb{R}_{N}[X]} dans la base canonique.
Si {t\mapsto G_{n}(t)} est la fonction génératrice de {X_{n}}, on voit que {G_{n+1}=\varphi(G_{n})}.
On retrouve alors la relation {\text{E}(X_{n+1})=1+\Bigl(1-\dfrac{2}{N}\Bigr)\text{E}(X_{n})}.
On forme ici la matrice de transition associée à ce processus de Markov, et on l’interprète comme celle d’un endomorphisme \varphi de {\mathbb{R}_{N}[X]} dans la base canonique.
Si {t\mapsto G_{n}(t)} est la fonction génératrice de {X_{n}}, on voit que {G_{n+1}=\varphi(G_{n})}.
On retrouve alors la relation {\text{E}(X_{n+1})=1+\Bigl(1-\dfrac{2}{N}\Bigr)\text{E}(X_{n})}.