Factorisations de sommes (2/2)

Partie I | Partie II


Partie II. Une factorisation améliorée.

On va améliorer le résultat de la partie I en montrant que le polynôme {n\mapsto S_{p}(n)} est :

  • Factorisable par {n(n\!+\!1)(2n\!+\!1)} pour {p\ge2} pair.

    Plus précisément, on va prouver que si {p=2q}, il existe {B_q\in\mathbb{Q}[X]}, de degré {2(q\!-\!1)}, tel que : {\forall\, n\ge1,\;S_{2q}(n)=n(n+1)(2n+1)\,B_{q}(n)}NB : c’est vrai si {q=1} avec {B_1(n)=1/6}

  • Factorisable par {n^2(n\!+\!1)^2} pour {p\ge3} impair.

    Plus précisément, on va prouver que si {p=2q\!+\!1} il existe {C_q\in\mathbb{Q}[X]} de degré {2(q\!-\!1)} tel que :{\forall\, n\ge1,\;S_{2q+1}(n)=n^2(n+1)^2\,C_{q}(n)}NB : c’est vrai pour {q=1} avec {C_1(n)=1/4}.

Question II.1
En développant {(k-1)^{p+1}} pour {1\le k\le n} montrer l’égalité {(E'_p) }, valable pour {n\ge1} : {\begin{array}{l}n^{p+1}-n(-1)^p\\\quad=(p+1)S_p(n)+\displaystyle\sum_{j=1}^{p-1}\dbinom{p+1}{j}(-1)^{p-j}S_j(n)\end{array}}
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Question II.2
On définit le polynôme :{Q_p(x)=(x\!+\!1)^{p+1}\!+\!x^{p+1}\!-\!x\!-\!(-1)^px-1}En ajoutant {(E_p)} et {(E'_p)}, montrer {(E''_p)} : {\begin{array}{l}2(p+1)S_p(n)=\\[6pt]\quad\!Q_p(n)\!-\!2\!\!\displaystyle\sum_{1\le k\lt p/2}\!\!\dbinom{p\!+\!1}{p\!-\!2k}S_{p-2k}(n)\end{array}}
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Question II.3
Dans cette question, on suppose {p=2q} avec {q\ge1}.
Réécrire {(E''_p)} dans ce cas.
Montrer que {Q_{2q}(n)} est le produit de {n(n\!+\!1)(2n\!+\!1)} par un polynôme en {n} à coefficients rationnels, et conclure par récurrence forte (pour les entiers {p} pairs).
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Question II.4
Dans cette question, {p=2q+1} avec {q\ge1}.
Réécrire {(E''_p)} dans ce cas.
On sera amené à prouver que {R_{2q+1}(n)=Q_{2q+1}(n)-2(q+1)n(n+1)} est le produit de {n^2(n\!+\!1)^2} et d’un polynôme en {n} à coefficients rationnels, et on conclura par récurrence forte (pour les {p} impairs).
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Question II.5
Avec ce qui précède, mais sans utiliser {S_p(n)} pour {p\lt 5}, calculer l’expression de {S_5(n)}.
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