Trigonométrie de haut vol

Exercice 1.
On considère la fonction {f} définie sur {\mathbb{R}} par :{f(x)=\cos(x)\,\cos(2x)\,\cos(4x)}

  1. Avec Python, tracer la courbe de {f} sur {[0,2\pi]}.
  2. Résoudre l’équation {(E) :f(x)=\dfrac18} sur {]0,\pi[}.

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Exercice 2.
Prouver l’inégalité {\cos(\sin x) > \sin(\cos x)} sur {\mathbb{R}}.
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Exercice 3.
Montrer {S_{n}(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{\sin(2k-1)x}{2k-1}>0} sur {]0,\pi[}.
Indication : {\sin(x)>0} sur {]0,\pi[}, et « télescopage ».
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Exercice 4.
Maximum de {\psi(x)=\sin^2x\,\sin 2x} sur {[0,\pi]}?
En déduire {\Bigl|\displaystyle\prod_{k=0}^{k=n}\sin2^kx\Bigr|\le\Bigl(\dfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)^n}.
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Exercice 5.
Soient {x,y,z} dans {\Bigl]0,\dfrac\pi2\Bigr[} tels que :{(E):\dfrac{\sin(x-y)}{\sin(x+y)}+\dfrac{\sin(y-z)}{\sin(y+z)}+\dfrac{\sin(z-x)}{\sin(z+x)}=0}Montrer que deux au moins dans {x,y,z} sont égaux.
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Exercice 6.
En s’appuyant sur chacun des cotés d’un triangle {(T)}, et vers l’extérieur de celui-ci, on construit trois carrés numérotés {1}, {2} et {3} (voir figure).
À partir des segments reliant des sommets de ces trois carrés, comme indiqué, on trace les carrés numérotés {4}, {5} et {6}.
On note {\mathcal{A}_k} l’aire du carré n°{k}, pour {1\le k\le 6}.
Montrer que {\mathcal{A}_4+\mathcal{A}_5+\mathcal{A}_6=3(\mathcal{A}_1+\mathcal{A}_2+\mathcal{A}_3)}figure 2
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