Quatre preuves de Cauchy-Schwarz

Soit {\begin{cases}X=(x_1,\ldots,x_n)\\Y=(y_1,\ldots,y_n)\end{cases}} dans {\mathbb{R}^n}, avec {n\ge2}.

On pose classiquement : {\left(X\mid Y\right)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_ky_k}

On note : {\left\|X\right\|=\sqrt{\left(X\mid X\right)}=\Bigl(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_k^2\Bigr)^{1/2}}

De même : {\left\|Y\right\|=\sqrt{\left(Y\mid Y\right)}=\Bigl(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_k^2\Bigr)^{1/2}}

L’inégalité de Cauchy-Schwarz s’écrit {\left|\left(X\mid Y\right)\right|\le\left\|X\right\|\,\left\|Y\right\|}(avec égalité {\Leftrightarrow X,Y} proportionnels)

On va voir quatre démonstrations de cette inégalité :

Question 1.
Démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz en étudiant la fonction {\varphi} définie sur {\mathbb{R}} par : {\forall\, \lambda\in\mathbb{R},\;\varphi(\lambda)=\left(\lambda x-y\mid \lambda x-y\right)}On étudiera le cas d’égalité.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question 2.
Montrer Cauchy-Schwarz par récurrence simple.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question 3.
Soit {\mathcal{P}_n} l’inégalité de Cauchy-Schwarz au rang {n}.

Vérifier {\mathcal{P}_2}. Montrer que {\mathcal{P}_n\Rightarrow\mathcal{P}_{2n}} (pour {n\ge2})

Montrer que {\mathcal{P}_{n}\Rightarrow\mathcal{P}_{n-1}} (pour {n\ge3}) et conclure.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question 4.
Prouver l’égalité de Lagrange {\displaystyle\sum_{1\le j\lt k\le n}(x_jy_k\!-\!x_ky_j)^2\!+\!\left(X\mid Y\right)^2=\left\|X\right\|^2\left\|Y\right\|^2} et conclure.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).