Soit {\begin{cases}X=(x_1,\ldots,x_n)\\Y=(y_1,\ldots,y_n)\end{cases}} dans {\mathbb{R}^n}, avec {n\ge2}.
On pose classiquement : {\left(X\mid Y\right)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_ky_k}
On note : {\left\|X\right\|=\sqrt{\left(X\mid X\right)}=\Bigl(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_k^2\Bigr)^{1/2}}
De même : {\left\|Y\right\|=\sqrt{\left(Y\mid Y\right)}=\Bigl(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_k^2\Bigr)^{1/2}}
L’inégalité de Cauchy-Schwarz s’écrit {\left|\left(X\mid Y\right)\right|\le\left\|X\right\|\,\left\|Y\right\|}(avec égalité {\Leftrightarrow X,Y} proportionnels)
On va voir quatre démonstrations de cette inégalité :
Démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz en étudiant la fonction {\varphi} définie sur {\mathbb{R}} par : {\forall\, \lambda\in\mathbb{R},\;\varphi(\lambda)=\left(\lambda x-y\mid \lambda x-y\right)}On étudiera le cas d’égalité.
Montrer Cauchy-Schwarz par récurrence simple.
Soit {\mathcal{P}_n} l’inégalité de Cauchy-Schwarz au rang {n}.
Vérifier {\mathcal{P}_2}. Montrer que {\mathcal{P}_n\Rightarrow\mathcal{P}_{2n}} (pour {n\ge2})
Montrer que {\mathcal{P}_{n}\Rightarrow\mathcal{P}_{n-1}} (pour {n\ge3}) et conclure.
Prouver l’égalité de Lagrange {\displaystyle\sum_{1\le j\lt k\le n}(x_jy_k\!-\!x_ky_j)^2\!+\!\left(X\mid Y\right)^2=\left\|X\right\|^2\left\|Y\right\|^2} et conclure.