Borne supérieure et sous-gradient (3/3)

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{\fbox{Partie III}}

Soit {a} un élément de {X}. On dit qu’un réel {m} est un sous-gradient} de {f} en {a} si : {\forall\,x\in X,\;f(x)\ge f(a)+m(x-a)}L’ensemble (éventuellement vide) des sous-gradients de {f} au point {a} s’appelle le sous-différentiel} de la fonction {f} en {a} et il est noté {\partial_a(f)}.

Question III.1
Interpréter géométriquement l’appartenance du réel {m} à l’ensemble {\partial_a(f)}.
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Question III.2
Montrer que {\partial_a(f)\subset {X}^{\circ}}, et préciser la valeur de {{f}^{\circ}} en tout point {m} de {\partial_a(f)}.
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Question III.3
Prouver que si {\partial_a(f)\ne\emptyset} alors {{f}^{\circ\circ}(a)=f(a)}.
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Question III.4
Soit {a\in{X}^{\circ\circ}}. Montrer l’implication :{{f}^{\circ\circ}(a)=f(a)\Rightarrow\partial_a({f}^{\circ\circ})=\partial_a(f)}Indication : montrer successivement {\partial_a({f}^{\circ\circ})\subset \partial_a(f)\;\text{et}\;\partial_a(f)\subset\partial_a({f}^{\circ\circ})}
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Question III.5
Montrer que si {m} est un élément de {\partial_a(f)}, alors {a} est un élément de {\partial_m({f}^{\circ})}.
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Question III.6
On suppose que {f} est deux fois dérivable sur {\mathbb{R}}, et que {f''(x)\ge0} pour tout {x} de {\mathbb{R}}.
Montrer que pour tout {a} de {\mathbb{R}} l’ensemble {\partial_a(f)} se réduit au singleton {\{f'(a)\}}.
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