Partie I | Partie II | Partie III
{\fbox{Partie II}}
On définit {({X}^{\circ\circ},{f}^{\circ\circ})} à partir de {({X}^{\circ},{f}^{\circ})}, tout comme on a défini {({X}^{\circ},{f}^{\circ})} à partir de {(X,f)}.
Autrement dit, pour tout {x} de {{X}^{\circ\circ}}, on a :{{f}^{\circ\circ}(x)=\displaystyle\sup_{m\in{X}^{\circ}}{f}^{\circ}_x(m)=\displaystyle\sup_{m\in{X}^{\circ}}(xm-{f}^{\circ}(m))}Ainsi {{f}^{\circ\circ}(x)} est le réel minimum {\lambda} tel que, pour tout {m} de {{X}^{\circ}}, on ait {{f}^{\circ}(m)\ge xm-\lambda}.
| Question II.1.a On suppose {X=\mathbb{R}} et {f(x)=\left|x\right|}. Déterminer {({X}^{\circ},{f}^{\circ})} et {({X}^{\circ\circ},{f}^{\circ\circ})}. |
| Question II.1.b Même question avec {X=\mathbb{R}} et {f(x)=\left|1-\left|x\right|\right|}. |
| Question II.1.c Même question avec {X=\{-1,0,1,2\}} et :{\{f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=1\}} |
| Question II.2 Montrer que {X} est inclus dans {{X}^{\circ\circ}}, et qu’on a {{f}^{\circ\circ}\le f} sur {X}. |
| Question II.3 Soit {Y} une partie de {\mathbb{R}} contenant {X}, et soit {g :Y\to \mathbb{R}} une fonction telle que pour tout {x} de {X} on ait {g(x)\le f(x)}. On définit le couple {({Y}^{\circ},{g}^{\circ})}. Montrer que {{Y}^{\circ}\subset{X}^{\circ}} et que {{f}^{\circ}(m)\le{g}^{\circ}(m)} pour tout {m} de {{Y}^{\circ}}. |
| Question II.4 On définit le couple {({X}^{\circ\circ\circ},{f}^{\circ\circ\circ})} par :{\begin{cases}{X}^{\circ\circ\circ}=({X}^{\circ\circ})^\circ={({X}^{\circ})}^{\circ\circ}\\[3pt]{f}^{\circ\circ\circ}=({f}^{\circ\circ})^\circ={({f}^{\circ})}^{\circ\circ}\end{cases}}Montrer que {{X}^{\circ\circ\circ}={X}^{\circ}} et {{f}^{\circ\circ\circ}={f}^{\circ}}. |