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{\fbox{Partie II}}

On définit {({X}^{\circ\circ},{f}^{\circ\circ})} à partir de {({X}^{\circ},{f}^{\circ})}, tout comme on a défini {({X}^{\circ},{f}^{\circ})} à partir de {(X,f)}.

Autrement dit, pour tout {x} de {{X}^{\circ\circ}}, on a :{{f}^{\circ\circ}(x)=\displaystyle\sup_{m\in{X}^{\circ}}{f}^{\circ}_x(m)=\displaystyle\sup_{m\in{X}^{\circ}}(xm-{f}^{\circ}(m))}Ainsi {{f}^{\circ\circ}(x)} est le réel minimum {\lambda} tel que, pour tout {m} de {{X}^{\circ}}, on ait {{f}^{\circ}(m)\ge xm-\lambda}.

Question II.1.a
On suppose {X=\mathbb{R}} et {f(x)=\left|x\right|}.
Déterminer {({X}^{\circ},{f}^{\circ})} et {({X}^{\circ\circ},{f}^{\circ\circ})}.
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Question II.1.b
Même question avec {X=\mathbb{R}} et {f(x)=\left|1-\left|x\right|\right|}.
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Question II.1.c
Même question avec {X=\{-1,0,1,2\}} et :{\{f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=1\}}
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Question II.2
Montrer que {X} est inclus dans {{X}^{\circ\circ}}, et qu’on a {{f}^{\circ\circ}\le f} sur {X}.
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Question II.3
Soit {Y} une partie de {\mathbb{R}} contenant {X}, et soit {g :Y\to \mathbb{R}} une fonction telle que pour tout {x} de {X} on ait {g(x)\le f(x)}.
On définit le couple {({Y}^{\circ},{g}^{\circ})}.
Montrer que {{Y}^{\circ}\subset{X}^{\circ}} et que {{f}^{\circ}(m)\le{g}^{\circ}(m)} pour tout {m} de {{Y}^{\circ}}.
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Question II.4
On définit le couple {({X}^{\circ\circ\circ},{f}^{\circ\circ\circ})} par :{\begin{cases}{X}^{\circ\circ\circ}=({X}^{\circ\circ})^\circ={({X}^{\circ})}^{\circ\circ}\\[3pt]{f}^{\circ\circ\circ}=({f}^{\circ\circ})^\circ={({f}^{\circ})}^{\circ\circ}\end{cases}}Montrer que {{X}^{\circ\circ\circ}={X}^{\circ}} et {{f}^{\circ\circ\circ}={f}^{\circ}}.
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