Borne supérieure et sous-gradient (1/3)

Partie I | Partie II | Partie III

Dans tout le problème, {f} est une fonction à valeurs réelles, définie une partie {X} non vide de {\mathbb{R}}.

• Pour tout {m} de {\mathbb{R}}, on note {f_m} la fonction définie sur {X} par : {f_m(x)=mx-f(x)}.

• On note {{X}^{\circ}} l’ensemble (éventuellement vide) des réels {m} tels que {f_m} soit majorée sur {X}.

  Autrement dit : {m\in{X}^{\circ}\Leftrightarrow\exists\, \lambda\in\mathbb{R},\;\forall\, x\in X,\; mx-f(x)\le \lambda}

• Si {{X}^{\circ}\!\ne\emptyset}, on définit {{f}^{\circ}} sur {{X}^{\circ}} par : {\forall\, m\in{X}^{\circ},\;{f}^{\circ}(m)=\displaystyle\sup_{x\in X} f_m(x)}Ainsi {{f}^{\circ}(m)} est le réel minimum {\lambda} tel que : {\forall\, x\in X,\;mx-f(x)\le\lambda}

{\fbox{Partie I}}