Partie I | Partie II | Partie III
Notations
Dans tout le problème, {f} est une fonction à valeurs réelles, définie une partie {X} non vide de {\mathbb{R}}.
- Pour tout {m} de {\mathbb{R}}, on note {f_m} la fonction définie sur {X} par : {f_m(x)=mx-f(x)}.
-
On note {{X}^{\circ}} l’ensemble (éventuellement vide) des réels {m} tels que {f_m} soit majorée sur {X}.
Autrement dit : {m\in{X}^{\circ}\Leftrightarrow\exists\, \lambda\in\mathbb{R},\;\forall\, x\in X,\; mx-f(x)\le \lambda}
- Si {{X}^{\circ}\!\ne\emptyset}, on définit {{f}^{\circ}} sur {{X}^{\circ}} par : {\forall\, m\in{X}^{\circ},\;{f}^{\circ}(m)=\displaystyle\sup_{x\in X} f_m(x)}Ainsi {{f}^{\circ}(m)} est le réel minimum {\lambda} tel que : {\forall\, x\in X,\;mx-f(x)\le\lambda}
{\fbox{Partie I}}
| Question I.1 Interpréter géométriquement l’appartenance d’un réel {m} à {{X}^{\circ}}, et la droite {y=mx-{f}^{\circ}(m)}. |
| Question I.2 Préciser {({X}^{\circ},{f}^{\circ})} dans les cas suivants: {f(x)=x;\quad f(x)=x^2;\quad f(x)=x^3}Dans toute la suite, on suppose que {{X}^{\circ}} est non vide. |
| Question I.3 Montrer que : {\forall\,x\in X,\;f(x)\ge\displaystyle\sup_{m\in{X}^{\circ}}(xm-{f}^{\circ}(m))} |
| Question I.4 Montrer que {{X}^{\circ}} est un intervalle de {\mathbb{R}}. |
| Question I.5 On suppose que {X} est un segment de {\mathbb{R}}, et que {f} est continue sur {X}. Déterminer {{X}^{\circ}}, et montrer que : {\forall\, m\in{X}^{\circ},\;\exists\, x_m\in X,\;f(x_m)=mx_m\!-\!{f}^{\circ}(m)} |