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Notations

Dans tout le problème, {f} est une fonction à valeurs réelles, définie une partie {X} non vide de {\mathbb{R}}.

  • Pour tout {m} de {\mathbb{R}}, on note {f_m} la fonction définie sur {X} par : {f_m(x)=mx-f(x)}.

  • On note {{X}^{\circ}} l’ensemble (éventuellement vide) des réels {m} tels que {f_m} soit majorée sur {X}.

    Autrement dit : {m\in{X}^{\circ}\Leftrightarrow\exists\, \lambda\in\mathbb{R},\;\forall\, x\in X,\; mx-f(x)\le \lambda}

  • Si {{X}^{\circ}\!\ne\emptyset}, on définit {{f}^{\circ}} sur {{X}^{\circ}} par : {\forall\, m\in{X}^{\circ},\;{f}^{\circ}(m)=\displaystyle\sup_{x\in X} f_m(x)}Ainsi {{f}^{\circ}(m)} est le réel minimum {\lambda} tel que : {\forall\, x\in X,\;mx-f(x)\le\lambda}

{\fbox{Partie I}}

Question I.1
Interpréter géométriquement l’appartenance d’un réel {m} à {{X}^{\circ}}, et la droite {y=mx-{f}^{\circ}(m)}.
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Question I.2
Préciser {({X}^{\circ},{f}^{\circ})} dans les cas suivants: {f(x)=x;\quad f(x)=x^2;\quad f(x)=x^3}Dans toute la suite, on suppose que {{X}^{\circ}} est non vide.
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Question I.3
Montrer que : {\forall\,x\in X,\;f(x)\ge\displaystyle\sup_{m\in{X}^{\circ}}(xm-{f}^{\circ}(m))}
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Question I.4
Montrer que {{X}^{\circ}} est un intervalle de {\mathbb{R}}.
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Question I.5
On suppose que {X} est un segment de {\mathbb{R}}, et que {f} est continue sur {X}.
Déterminer {{X}^{\circ}}, et montrer que : {\forall\, m\in{X}^{\circ},\;\exists\, x_m\in X,\;f(x_m)=mx_m\!-\!{f}^{\circ}(m)}
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