Irrationnalité de exp(r) et ln(r)

Le but de ce problème est de prouver que :

Si ${r}$ est rationnel non nul, ${\text{e}^r}$ est irrationnel.
Si ${r\in\mathbb{Q}^{+*}}$ et ${r\ne1}$ , ${\ln r}$ est irrationnel.

On désigne par ${\mathbb{Z}[X]}$ l’anneau des polynômes (fonctions polynomiales) à coefficients entiers.

Pour tout ${n}$ de ${\mathbb{N}}$ , on définit les polynômes : ${U_n(x)=\dfrac{1}{n!}(x-x^2)^n\;\text{et}\;L_n(x)=U_n^{(n)}(x)}$

Question 0.
Démontrer la formule d’intégration par parties répétée (où

{f,g}

sont

{{\mathcal C}^n}

sur

{[a,b]}

) :

{\begin{array}{l}\displaystyle\int_{a}^{b}f^{(n)}(t)g(t)\,\text{d}t\\[9pt]\quad=\Bigl[\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}f^{(n-k)}(t)g^{(k-1)}(t)\Big]_{\,a}^{\,b}\\[9pt]\qquad+(-1)^n\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)g^{(n)}(t)\,\text{d}t\quad(\,I\,)\end{array}}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir souscrit à mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

☞ Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).

Question 1.(a)
Soit

{A\in\mathbb{Z}[X]}

, et

{n\in\mathbb{N}}

.
On définit le polynôme

{B(x)=\dfrac{x^n}{n!}A(x)}

.
Pour tout

{k\in\mathbb{N}}

, montrer que

{B^{(k)}(0)}

est dans

{\mathbb{Z}}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir souscrit à mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

Question 1.(b)
Montrer que les

{U_n^{(k)}(0)}

{U_n^{(k)}(1)}

sont dans

{\mathbb{Z}}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir souscrit à mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

Pour

{x\in\mathbb{R}\;\text{et}\;n\in\mathbb{N}}

, soit

{R_n(x)=\displaystyle\int_0^1\text{e}^{xt}L_n(t)\,\text{d}t}

Question 2.(a)
Prouver l’égalité

{R_n(x)=(-x)^n\displaystyle\int_0^1\text{e}^{xt}\,U_n(t)\,\text{d}t}

.
En déduire

{R_n(x)\ne0}

{x\ne0}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir souscrit à mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

Question 2.(b)
Déduire de

{(a)}

l’inégalité

{\left|x^{n+1}R_n(x)\right|\le\dfrac{\left|x\right|^{2n+1}\text{e}^{\left|x\right|}}{4^n\,n!}}

puis montrer

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}{x^{n+1}R(x)}=0}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir souscrit à mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

Question 2.(c)
Pour tout

{n}

{\mathbb{N}}

, montrer qu’il existe

{P_n,Q_n}

dans

{\mathbb{Z}[X]}

, tous deux de degré

{n}

, et tels que :

{\forall\,x\in\mathbb{R},\;x^{n+1}R_n(x)=Q_n(x)\text{e}^x-P_n(x)}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir souscrit à mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

On se donne un entier relatif non nul ${m}$ .

Question 3.(a)
Utiliser la question précédente pour établir l’existence de deux suites

{(p_n)_{n\ge0}}

{(q_{n})_{n\ge0}}

{\mathbb{Z}}

telles que

{\displaystyle\lim_{n\to\infty}(q_n\text{e}^m-p_n)=0}

, avec

{q_n\text{e}^m-p_n\ne0}

pour tout

{n}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir souscrit à mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

Question 3.(b)
Par un raisonnement par l’absurde, en déduire que

{\text{e}^{m}}

est irrationnel.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir souscrit à mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

Question 3.(c)
Montrer que pour tout rationnel non nul

{r}

, le réel

{\text{e}^{r}}

est irrationnel.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir souscrit à mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

Question 3.(d)
Montrer que pour tout rationnel

{r>0}

(et

{r\ne1}

), le réel

{\ln{r}}

est irrationnel.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir souscrit à mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :