Irrationnalité de exp(r) et ln(r)

Le but de ce problème est de prouver que :

  • Si {r} est rationnel non nul, {\text{e}^r} est irrationnel.
  • Si {r\in\mathbb{Q}^{+*}} et {r\ne1}, {\ln r} est irrationnel.

On désigne par {\mathbb{Z}[X]} l’anneau des polynômes (fonctions polynomiales) à coefficients entiers.

Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on définit les polynômes :{U_n(x)=\dfrac{1}{n!}(x-x^2)^n\;\text{et}\;L_n(x)=U_n^{(n)}(x)}

Question 0.
Démontrer la formule d’intégration par parties répétée (où {f,g} sont {{\mathcal C}^n} sur {[a,b]}) :
{\begin{array}{l}\displaystyle\int_{a}^{b}f^{(n)}(t)g(t)\,\text{d}t\\[9pt]\quad=\Bigl[\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}f^{(n-k)}(t)g^{(k-1)}(t)\Big]_{\,a}^{\,b}\\[9pt]\qquad+(-1)^n\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)g^{(n)}(t)\,\text{d}t\quad(\,I\,)\end{array}}
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Question 1.(a)
Soit {A\in\mathbb{Z}[X]}, et {n\in\mathbb{N}}.
On définit le polynôme {B(x)=\dfrac{x^n}{n!}A(x)}.
Pour tout {k\in\mathbb{N}}, montrer que {B^{(k)}(0)} est dans {\mathbb{Z}}.
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Question 1.(b)
Montrer que les {U_n^{(k)}(0)} et {U_n^{(k)}(1)} sont dans {\mathbb{Z}}.
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Pour {x\in\mathbb{R}\;\text{et}\;n\in\mathbb{N}}, soit {R_n(x)=\displaystyle\int_0^1\text{e}^{xt}L_n(t)\,\text{d}t}.

Question 2.(a)
Prouver l’égalité {R_n(x)=(-x)^n\displaystyle\int_0^1\text{e}^{xt}\,U_n(t)\,\text{d}t}.
En déduire {R_n(x)\ne0} si {x\ne0}.
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Question 2.(b)
Déduire de {(a)} l’inégalité {\left|x^{n+1}R_n(x)\right|\le\dfrac{\left|x\right|^{2n+1}\text{e}^{\left|x\right|}}{4^n\,n!}}puis montrer {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}{x^{n+1}R(x)}=0}.
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Question 2.(c)
Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, montrer qu’il existe {P_n,Q_n} dans {\mathbb{Z}[X]}, tous deux de degré {n}, et tels que :{\forall\,x\in\mathbb{R},\;x^{n+1}R_n(x)=Q_n(x)\text{e}^x-P_n(x)}
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On se donne un entier relatif non nul {m}.

Question 3.(a)
Utiliser la question précédente pour établir l’existence de deux suites {(p_n)_{n\ge0}} et {(q_{n})_{n\ge0}} de {\mathbb{Z}} telles que {\displaystyle\lim_{n\to\infty}(q_n\text{e}^m-p_n)=0}, avec
{q_n\text{e}^m-p_n\ne0} pour tout {n}.
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Question 3.(b)
Par un raisonnement par l’absurde, en déduire que {\text{e}^{m}} est irrationnel.
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Question 3.(c)
Montrer que pour tout rationnel non nul {r}, le réel {\text{e}^{r}} est irrationnel.
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Question 3.(d)
Montrer que pour tout rationnel {r>0} (et {r\ne1}), le réel {\ln{r}} est irrationnel.
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