Le but de ce problème est de prouver que :
- Si {r} est rationnel non nul, {\text{e}^r} est irrationnel.
- Si {r\in\mathbb{Q}^{+*}} et {r\ne1}, {\ln r} est irrationnel.
On désigne par {\mathbb{Z}[X]} l’anneau des polynômes (fonctions polynomiales) à coefficients entiers.
Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on définit les polynômes :{U_n(x)=\dfrac{1}{n!}(x-x^2)^n\;\text{et}\;L_n(x)=U_n^{(n)}(x)}
| Question 0. Démontrer la formule d’intégration par parties répétée (où {f,g} sont {{\mathcal C}^n} sur {[a,b]}) : {\begin{array}{l}\displaystyle\int_{a}^{b}f^{(n)}(t)g(t)\,\text{d}t\\[9pt]\quad=\Bigl[\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}f^{(n-k)}(t)g^{(k-1)}(t)\Big]_{\,a}^{\,b}\\[9pt]\qquad+(-1)^n\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)g^{(n)}(t)\,\text{d}t\quad(\,I\,)\end{array}} |
| Question 1.(a) Soit {A\in\mathbb{Z}[X]}, et {n\in\mathbb{N}}. On définit le polynôme {B(x)=\dfrac{x^n}{n!}A(x)}. Pour tout {k\in\mathbb{N}}, montrer que {B^{(k)}(0)} est dans {\mathbb{Z}}. |
| Question 1.(b) Montrer que les {U_n^{(k)}(0)} et {U_n^{(k)}(1)} sont dans {\mathbb{Z}}. |
| Question 2.(a) Prouver l’égalité {R_n(x)=(-x)^n\displaystyle\int_0^1\text{e}^{xt}\,U_n(t)\,\text{d}t}. En déduire {R_n(x)\ne0} si {x\ne0}. |
| Question 2.(b) Déduire de {(a)} l’inégalité {\left|x^{n+1}R_n(x)\right|\le\dfrac{\left|x\right|^{2n+1}\text{e}^{\left|x\right|}}{4^n\,n!}}puis montrer {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}{x^{n+1}R(x)}=0}. |
| Question 2.(c) Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, montrer qu’il existe {P_n,Q_n} dans {\mathbb{Z}[X]}, tous deux de degré {n}, et tels que :{\forall\,x\in\mathbb{R},\;x^{n+1}R_n(x)=Q_n(x)\text{e}^x-P_n(x)} |
On se donne un entier relatif non nul {m}.
| Question 3.(a) Utiliser la question précédente pour établir l’existence de deux suites {(p_n)_{n\ge0}} et {(q_{n})_{n\ge0}} de {\mathbb{Z}} telles que {\displaystyle\lim_{n\to\infty}(q_n\text{e}^m-p_n)=0}, avec {q_n\text{e}^m-p_n\ne0} pour tout {n}. |
| Question 3.(b) Par un raisonnement par l’absurde, en déduire que {\text{e}^{m}} est irrationnel. |
| Question 3.(c) Montrer que pour tout rationnel non nul {r}, le réel {\text{e}^{r}} est irrationnel. |
| Question 3.(d) Montrer que pour tout rationnel {r>0} (et {r\ne1}), le réel {\ln{r}} est irrationnel. |