L’équation du troisième degré (1/2)

Partie I | Partie II

Le but du problème est la résolution de l’équation {(1):\ ax^3+bx^2+cx+d=0} où {(a,b,c,d)\in\mathbb{C}^4,\ a\ne0}.

Partie I. ({a,b,c,d} complexes)

Question I.1
Montrer qu’il existe {h} dans {\mathbb{C}} tel que le changement de variable {y=x+h} transforme {(1)} en :{(2):\ y^3+py+q=0,\ (p,q)\in\mathbb{C}^2}Que dire si {p=q=0}? Dans toute la suite, on supposera {(p,q)\ne(0,0)}.
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Avec les notations de l’énoncé : {\begin{array}{l} ax^3+bx^2+cx+d=0\\[9pt]\Leftrightarrow a(y-h)^3+b(y-h)^2+c(y-h)+d=0\\[9pt]\Leftrightarrow ay^3+(b-3ah)y^2+\cdots=0\\[9pt]\Leftrightarrow y^3+\Bigl(\dfrac{b}{a}-3h\Bigr)y^2+\cdots=0\end{array}}Il faut poser {h=\dfrac{b}{3a}} pour éliminer le terme en {y^2}.

On a alors l’équivalence : {ax^3+bx^2+cx+d=0\Leftrightarrow y^3+py+q=0}avec {y=x+h}, et {h=\dfrac{b}{3a}}.

Après calcul, on trouve : {p=\dfrac{-b^2+3ca}{3a^2}\;\text{et}\;q=\dfrac{2b^3+27da^2-9cba}{27a^3}}Si {p=q=0}, alors {0} est solution triple de {(2)} donc {-h} est est solution triple de {(1)}.

Question I.2
Dans {(2)}, on pose {y=u+v}, avec {(u,v)} dans {\mathbb{C}^2}.
Montrer que si on impose :{(3):\ uv=-\dfrac p3\;\;\text{et}\;\;u^3+v^3=-q}alors {y=u+v} est solution de {(2)}.
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Question I.3
On suppose que {u,v} vérifient {(3)}.

Montrer que {u^3,v^3} vérifient l’équation :{(4):\ t^2+qt-\dfrac{p^3}{27}=0}dont on note {t',t''} les solutions dans {\mathbb{C}}.

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Question I.4
Soit {\alpha\ne0} telle que {\alpha^3} soit solution de {(4)}.
Montrer que {y_0=\alpha\!-\!\dfrac{p}{3\alpha},\;y_1=j\alpha\!-\!\dfrac{p}{3\alpha}j^2,\;y_2=j^2\alpha\!-\!\dfrac{p}{3\alpha}j}sont solutions de {(2)}.
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Question I.5
Plus précisément, montrer que {y_0,y_1,y_2} sont LES solutions de {(2)}.
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Question I.6
En déduire les solutions {x_0,x_1,x_2} de {(1)}.
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Question I.7
On se place dans le cas particulier {q^2+\dfrac{4p^3}{27}=0}.
Que dire de l’équation {(4)}?
Montrer qu’on peut choisir {\alpha} tel que {\alpha^2=-\dfrac{p}{3}}.
Quelles solutions obtient-on alors pour {(1)}?
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