Intégrales de Futuna

Notations :

Soit {f:[x_0,+\infty[\to\mathbb{R}^+}, continue.
Si la limite existe dans {\mathbb{R^+}}, on pose : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!f(x)\,\text{d}x=\displaystyle\lim_{a\to+\infty}\displaystyle\int_{x_0}^{a}\!\!f(x)\,\text{d}x}

Les calculs seront effectués sur des intégrales sur un segment (souvent {[0,a]} avec {a>0}) avant un passage à la limite (qui devra être justifié) quand {a\to+\infty}.

Sous réserve d’existence, on note :{\forall\,n\in\mathbb{N}^*,\;F_n=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\dfrac{\text{d}x}{(\text{ch}\, x)^n}}

Question 1.a
Prouver que {F_1} existe, et calculer sa valeur.
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Question 1.b
Prouver que {F_2} existe, et calculer sa valeur.
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Question 1.c
Montrer que les {F_n} existent pour tout {n\ge1}.
Montrer qu’on a toujours {F_{n+2}=\dfrac{n}{n+1}F_n}.
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Question 2.a
Montrer que {(F_n)_{n\ge1}} décroit et converge.
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Dans cette question, on va prouver : {\displaystyle\lim_{n\to\infty}F_n=0}.

On se donne {\varepsilon>0}, et {0\lt a\lt b}.

On décompose {F_n} sous la forme : {F_n=\displaystyle\int_{0}^{a}\dfrac{\text{d}x}{(\text{ch}\, x)^n}+\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{\text{d}x}{(\text{ch}\, x)^n}+\displaystyle\int_{b}^{+\infty}\!\!\dfrac{\text{d}x}{(\text{ch}\, x)^n}}

Question 2.b.i.
Montrer que : {F_n\le a+\dfrac{b}{(\text{ch}\, a)^n}+\dfrac{(2\text{e}^{-b})^n}{n}}.
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Question 2.b.ii
Choisir {a,b} et en déduire : {\exists\,n_0\in\mathbb{N}^*,\;\forall\, n\ge n_0,\;0\le F_n\le \varepsilon}et conclure.
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Question 3.a
Déduire de la question (1) l’expression de {F_{2n}} et de {F_{2n+1}} à l’aide de factorielles.
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Question 3.b
Montrer que la suite {n\mapsto u_n=nF_{n}F_{n+1}} est constante et calculer sa valeur.
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Question 3.c
Montrer {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{F_{n+1}}{F_n}=1}. En déduire {F_n\stackrel{+\infty}{\sim}\sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}}
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Question 4
On définit les intégrales de Wallis : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;W_n=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}(\cos x)^n\,\text{d}x}Pour {n\ge 1}, prouver l’égalité {F_n=W_{n-1}}.

On comprend l’analogie entre les intégrales de Wallis et Futuna!

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Question 5
Appliquer la formule d’intégration approchée par la méthode du trapèze à {x\mapsto \ln x} sur {[n,n+1]} et en déduire l’inégalité :{0\le\Bigl(n\!+\!\dfrac12\Bigr)\bigl(\ln(n\!+\!1)\!-\!\ln(n)\bigr)\!-\!1\le\dfrac{1}{12n^2}}
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Pour {n\ge2} soit {\begin{cases}u_n =\ln\Bigl(n^{n}\sqrt{n}\,\text{e}^{-n}\Bigr)-\ln(n!)\\[6pt]v_n=u_n+\dfrac{1}{12(n-1)}\end{cases}}

Question 6.a
Montrer que {(u_n)_{n\ge2}} et {(v_n)_{n\ge2}} sont adjacentes.
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Question 6.b
On note {C=\displaystyle\lim_{\infty}u_n=\displaystyle\lim_{\infty}v_n}.
Montrer : {2u_n-u_{2n}=\ln\Bigl(\dfrac{F_{2n+1}\sqrt{2n}}{\pi}\Bigr)}.
En déduire {C=-\dfrac12\ln(2\pi)}.
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Question 6.c
Prouver finalement la formule de Stirling : {n!\sim n^n\text{e}^{-n}\sqrt{2\pi n}}
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