Inégalités de Holder et Minkowski

Pour {X=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n} et {p\in\mathbb{R}^{+*}}, on note :{\left\|X\right\|_p=\Bigl(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\left|x_k\right|^p\Bigr)^{1/p}}Soit {p,q} dans {\mathbb{R}^{+*}} tels que {\dfrac1p+\dfrac1q=1}.

Question 1.
Soit {a,b} dans {\mathbb{R}^{+*}}. Donner le minimum sur {\mathbb{R}^{+*}} de :{f :t\mapsto \dfrac{a^p}{p}\, t^{-1/q}+\dfrac{b^q}{q}\,t^{1/p}}
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Question 2.
En déduire : {\forall\, (X,Y)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n,\;\Bigl|\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}x_ky_k\Bigr|\le\left\|X\right\|_p\left\|Y\right\|_q} (inégalité de Holder)
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Question 3.
Qu’obtient-on si {p=q=2} ?
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Question 4.
Soit {a,b} dans {\mathbb{R}^{+*}}. Donner le minimum sur {\mathbb{R}^{+*}} de :{g :t\mapsto a^pt^{1-p}+b^p(1-t)^{1-p}}
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Question 5.
En déduire : {\forall\,(X,Y)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n,\;\left\|X+Y\right\|_p\le\left\|X\right\|_p+\left\|Y\right\|_p}(inégalité de Minkowski)
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