Bernstein et Weierstrass

Pour {0\le k\le n}, soit la fonction polynomiale :{R_{n,k} :x\mapsto \dbinom{n}{k}\,x^k(1-x)^{n-k}}

Question 1.(a) Simplifier la somme {\displaystyle\sum_{k=0}^{n}R_{n,k}(x)}.

Question 1.(b) Montrer que {\displaystyle\sum_{k=0}^{n}kR_{n,k}(x)=nx}.

Question 1.(c) Prouver également l’égalité : {\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k(k-1)R_{n,k}(x)=n(n-1)x^2}

Question 1.(d) En déduire {\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(k-nx)^2R_{n,k}(x)=nx(1-x)}.

Soit {f:[0,1]\to\mathbb{R}} une fonction continue.

Pour tout entier {n\ge1}, on pose :{B_n(f)(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n\,f\Bigl(\dfrac{k}{n}\Bigr)R_{n,k}(x)}Les {B_n(f)} sont les « polynômes de Bernstein » de {f}.

Pour toute fonction continue {\varphi} sur {[0,1]}, on note :{\left\|\varphi\right\|=\sup\limits_{x\in[0,1]}\left|\varphi(x)\right|}On va montrer que {\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left\|f-B_{n}(f)\right\|=0}.

On exprime cette propriété en disant que la suite des {B_n(f)} « converge uniformément » vers {f} sur {[0,1]}.

Pour la suite, on se donne {\varepsilon>0}.

Question 2.(a) Montrer qu’il existe {\alpha>0} tel que : {\forall (x,y)\!\in\![0,1]^2,\left|y\!-\!x\right|\le\alpha\Rightarrow\left|f(y)\!-\!f(x)\right|\le\varepsilon}On demande donc de redémontrer le théorème de Heine pour {f} continue sur {[0,1]}.

Question 2.(b) Montrer que, pour tout {x} de {[0,1]} :{f(x)-B_n(f)(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n\Bigl(f(x)-f\Bigl(\dfrac{k}{n}\Bigr)\Bigr)R_{n,k}(x)}

Soit {x} un élément de {[0,1]}. On note :{\mathcal{A}=\Bigl\{k\in\{0,\ldots,n\},\Bigl|x-\dfrac{k}{n}\Bigr|\le\alpha\Bigr\}}Soit {\mathcal{B}} le complémentaire de {\mathcal{A}} dans {\{0,\ldots,n\}}.

Question 2.(c.1) Montrer que {\displaystyle\sum_{k\in \mathcal{A}}\Bigl|f(x)-f\Bigl(\dfrac{k}{n}\Bigr)\Bigr|R_{n,k}(x)\le\varepsilon}.

Question 2.(c.2) Prouver les inégalités :{\begin{array}{l}\alpha^2\displaystyle\sum_{k\in B}R_{n,k}(x)\le\displaystyle\sum_{k\in \mathcal{B}}\Bigl(x-\dfrac{k}{n}\Bigr)^2R_{n,k}(x)\\[12pt]\quad\le\dfrac1{n^2}\displaystyle\sum_{k=0}^n(nx-k)^2R_{n,k}(x)\le\dfrac1{4n}\end{array}}

Question 2.(c.3) Prouver que {\displaystyle\sum_{k\in \mathcal{B}}\Bigl|f(x)-f\Bigl(\dfrac{k}{n}\Bigr)\Bigr|R_{n,k}(x)\le\dfrac{\left\|f\right\|}{2n\alpha^2}}.

Question 2.(c.4) Montrer finalement que {\left\|f-B_n(f)\right\|\le\varepsilon+\dfrac{\left\|f\right\|}{2n\alpha^2}}.

Question 2.(d) En déduire que la suite {\bigl(B_n(f)\bigr)_{n\ge1}} converge uniformément vers {f} sur {[0,1]}.